Öteleme, simetri ve dönüşüm yoluyla fonksiyon grafikleri.
Konu Anlatımı
11. Sınıf Matematik Fonksiyonların Dönüşümleri
Fonksiyonların dönüşümleri, 11. sınıf matematik müfredatının en temel ve en çok soru çıkan konularından biridir. Bu konu anlatımında; bir fonksiyonun grafiğinin öteleme, yansıma, gerilme ve sıkıştırma gibi işlemlerle nasıl değiştiğini adım adım öğreneceksiniz. 11. Sınıf Matematik Fonksiyonların Dönüşümleri konusunu tam olarak kavradığınızda, sınavlarda karşınıza çıkacak grafik yorumlama sorularını rahatlıkla çözebileceksiniz.
Fonksiyon Dönüşümü Nedir?
Bir f(x) fonksiyonunun grafiğini belirli kurallara göre hareket ettirme, çevirme veya şeklini değiştirme işlemlerine fonksiyon dönüşümü denir. Dönüşümler, orijinal fonksiyonun denkleminde yapılan küçük değişikliklerle elde edilir. Örneğin f(x) fonksiyonuna bir sabit eklemek veya x değişkeninin yerine (x − a) yazmak, grafikte belirgin bir değişikliğe neden olur. Dönüşüm kavramını anlamak, fonksiyonların grafiklerini çizmekte ve yorumlamakta büyük kolaylık sağlar.
Dönüşüm türlerini dört ana başlık altında inceleyeceğiz: öteleme (kaydırma), yansıma (simetri), gerilme ve sıkıştırma. Her bir dönüşüm türünü ayrıntılı biçimde ele alacağız.
1. Öteleme (Kaydırma) Dönüşümleri
Öteleme, bir fonksiyonun grafiğinin şekli değişmeden belirli bir yönde kaydırılması işlemidir. Öteleme dönüşümleri yatay ve dikey olmak üzere iki gruba ayrılır.
1.1 Dikey Öteleme
Bir y = f(x) fonksiyonuna sabit bir c sayısı eklendiğinde veya çıkarıldığında grafik dikey yönde kayar.
- y = f(x) + c (c > 0): Grafik yukarı yönde c birim kayar. Örneğin f(x) = x² fonksiyonunda y = x² + 3 denklemi, parabolün 3 birim yukarı taşınmış hâlidir.
- y = f(x) − c (c > 0): Grafik aşağı yönde c birim kayar. Örneğin y = x² − 4 denklemi, parabolün 4 birim aşağı taşınmış hâlidir.
Dikey ötelemede fonksiyonun genel şekli, genişliği veya eğimi değişmez. Sadece grafiğin y eksenindeki konumu değişir. Bu durum, fonksiyonun değer kümesini doğrudan etkiler. Örneğin f(x) = x² fonksiyonunun değer kümesi [0, +∞) iken, g(x) = x² + 3 fonksiyonunun değer kümesi [3, +∞) olur.
1.2 Yatay Öteleme
Bir y = f(x) fonksiyonunda x yerine (x − a) veya (x + a) yazıldığında grafik yatay yönde kayar.
- y = f(x − a) (a > 0): Grafik sağa doğru a birim kayar. Dikkat: eksi işareti sağa kaydırır. Örneğin f(x) = x² fonksiyonunda y = (x − 2)² denklemi, parabolün 2 birim sağa taşınmış hâlidir.
- y = f(x + a) (a > 0): Grafik sola doğru a birim kayar. Örneğin y = (x + 5)² denklemi, parabolün 5 birim sola taşınmış hâlidir.
Yatay ötelemede öğrencilerin en sık yaptığı hata, işaret karışıklığıdır. f(x − a) ifadesindeki eksi işareti sağa kaydırmayı, f(x + a) ifadesindeki artı işareti sola kaydırmayı ifade eder. Bu durumu "işaretin tersine git" şeklinde ezberleyebilirsiniz.
1.3 Hem Yatay Hem Dikey Öteleme
Bir fonksiyonun grafiği aynı anda hem yatay hem de dikey yönde kaydırılabilir. Bu durumda dönüşüm y = f(x − a) + c biçiminde yazılır. Örneğin y = (x − 3)² + 2 ifadesi, y = x² parabolünün 3 birim sağa ve 2 birim yukarı kaydırılmış hâlidir. Bu tür birleşik öteleme sorularında önce yatay, sonra dikey kaydırmayı düşünmek çözümü kolaylaştırır.
2. Yansıma (Simetri) Dönüşümleri
Yansıma dönüşümü, bir fonksiyonun grafiğinin belirli bir eksene veya noktaya göre simetriğinin alınması işlemidir. Sınavlarda en sık sorulan dönüşüm türlerinden biridir.
2.1 x Eksenine Göre Yansıma
Bir y = f(x) fonksiyonunun x eksenine göre simetriği y = −f(x) şeklinde elde edilir. Bu işlemde grafiğin her noktasının y koordinatı ters işarete dönüşür. Örneğin f(x) = x² parabolü, x eksenine göre yansıtıldığında y = −x² olur ve parabol aşağı doğru açılır.
Bu dönüşüm görsel olarak şöyle düşünülebilir: x ekseninin bir ayna olduğunu hayal edin. Grafiğin x ekseninin üstündeki kısımları aşağıya, altındaki kısımları yukarıya geçer.
2.2 y Eksenine Göre Yansıma
Bir y = f(x) fonksiyonunun y eksenine göre simetriği y = f(−x) şeklinde elde edilir. Bu işlemde fonksiyondaki her x değeri −x ile değiştirilir. Örneğin f(x) = x³ fonksiyonunun y eksenine göre simetriği y = (−x)³ = −x³ olur.
Eğer bir fonksiyon çift fonksiyon ise, yani f(−x) = f(x) koşulunu sağlıyorsa, y eksenine göre yansıması kendisidir. Örneğin f(x) = x² fonksiyonu çift fonksiyondur ve y eksenine göre simetriktir.
2.3 Orijine Göre Yansıma
Bir y = f(x) fonksiyonunun orijine göre simetriği y = −f(−x) şeklinde elde edilir. Bu dönüşüm, hem x eksenine hem de y eksenine göre yansıma işleminin birlikte uygulanmasıyla aynı sonucu verir. Örneğin f(x) = x³ fonksiyonu tek fonksiyondur ve orijine göre simetriktir, çünkü −f(−x) = −(−x)³ = x³ = f(x) olur.
2.4 y = x Doğrusuna Göre Yansıma
Bir fonksiyonun y = x doğrusuna göre simetriği, o fonksiyonun ters fonksiyonunun grafiğidir. y = f(x) grafiğinin y = x doğrusuna göre yansıması y = f⁻¹(x) grafiğini verir. Bu dönüşümde x ve y koordinatları yer değiştirir. Örneğin f(x) = 2x + 1 fonksiyonunun y = x doğrusuna göre simetriği f⁻¹(x) = (x − 1) / 2 olur.
3. Gerilme ve Sıkıştırma Dönüşümleri
Gerilme ve sıkıştırma dönüşümleri, fonksiyon grafiğinin şeklini değiştiren işlemlerdir. Bu dönüşümler dikey ve yatay olmak üzere iki gruba ayrılır.
3.1 Dikey Gerilme ve Sıkıştırma
Bir y = f(x) fonksiyonu a sabiti ile çarpıldığında dikey yönde şekil değişikliği olur.
- y = a · f(x) ve a > 1 ise: Grafik dikey yönde gerilir (uzar). Grafik y ekseninden uzaklaşır. Örneğin y = 2x² fonksiyonu, y = x² parabolünden daha dik ve dar bir parabol oluşturur.
- y = a · f(x) ve 0 < a < 1 ise: Grafik dikey yönde sıkışır (basıklaşır). Grafik x eksenine yaklaşır. Örneğin y = 0,5x² fonksiyonu, y = x² parabolünden daha geniş ve basık bir parabol oluşturur.
Dikey gerilme ve sıkıştırmada dikkat edilmesi gereken nokta, grafiğin x eksenini kestiği noktaların (köklerin) değişmemesidir. Çünkü f(x) = 0 olan noktalarda a · f(x) = 0 olur.
3.2 Yatay Gerilme ve Sıkıştırma
Bir y = f(x) fonksiyonunda x yerine b · x yazıldığında yatay yönde şekil değişikliği olur.
- y = f(b · x) ve b > 1 ise: Grafik yatay yönde sıkışır. Grafik y eksenine doğru daralır. Örneğin y = f(2x) grafiği, orijinal grafiğin yatay eksende yarı boyutuna sıkıştırılmış hâlidir.
- y = f(b · x) ve 0 < b < 1 ise: Grafik yatay yönde gerilir. Grafik y ekseninden uzaklaşarak genişler. Örneğin y = f(0,5x) grafiği, orijinal grafiğin yatay eksende iki katına gerilmiş hâlidir.
Yatay dönüşümlerdeki işaret mantığı, yatay ötelemede olduğu gibi ters çalışır. b > 1 olduğunda grafik sıkışır (daraldığını düşünürsek, b ile çarpma küçültür); 0 < b < 1 olduğunda grafik genişler.
4. Mutlak Değer Dönüşümleri
Mutlak değer dönüşümleri, fonksiyon grafiğinin belirli kısımlarını x ekseninin üstüne taşıma veya simetrik hâle getirme işlemleridir.
4.1 y = |f(x)| Dönüşümü
Bu dönüşümde f(x) fonksiyonunun çıktısının mutlak değeri alınır. Pratikte şu anlama gelir: grafiğin x ekseninin üstünde kalan kısımları aynen kalır; x ekseninin altında kalan kısımları ise x eksenine göre yukarı yansıtılır. Sonuç olarak tüm grafik x ekseninin üstünde veya üzerinde olur.
Örneğin f(x) = x² − 4 fonksiyonunda, −2 < x < 2 aralığında grafik x ekseninin altındadır. y = |x² − 4| dönüşümünde bu kısım x ekseninin üstüne yansıtılır ve V şeklinde bir çıkıntı oluşur.
4.2 y = f(|x|) Dönüşümü
Bu dönüşümde fonksiyonun girdisinin mutlak değeri alınır. Pratikte şu anlama gelir: grafiğin x ≥ 0 olan kısmı (sağ taraf) aynen korunur; x < 0 olan kısım silinir ve sağ tarafın y eksenine göre simetriği sol tarafa yerleştirilir. Sonuç olarak grafik y eksenine göre simetrik hâle gelir.
Örneğin f(x) = x³ − x fonksiyonunda y = f(|x|) = |x|³ − |x| dönüşümü uygulandığında, grafiğin sağ yarısı korunur ve sola kopyalanarak simetrik bir şekil oluşur.
5. Birden Fazla Dönüşümün Birlikte Uygulanması
Sınavlarda sıklıkla birden fazla dönüşümün aynı anda uygulandığı sorular karşınıza çıkar. Bu tür sorularda dönüşümlerin sırasına dikkat etmek gerekir. Genel bir kural olarak şu sıra izlenir:
Adım 1: Yatay dönüşümler (yatay öteleme, yatay gerilme/sıkıştırma, y eksenine göre yansıma).
Adım 2: Dikey dönüşümler (dikey gerilme/sıkıştırma, x eksenine göre yansıma, dikey öteleme).
Örneğin y = −2f(x − 3) + 1 dönüşümünü adım adım uygulayalım. İlk olarak yatay öteleme: grafik 3 birim sağa kayar. Sonra dikey gerilme: grafik dikey yönde 2 katına uzar. Ardından x eksenine göre yansıma: grafik ters çevrilir (−2 çarpanı). Son olarak dikey öteleme: grafik 1 birim yukarı kayar.
6. Dönüşüm Tablosu Özet
Aşağıdaki tablo, tüm dönüşümleri derli toplu bir şekilde özetlemektedir:
- y = f(x) + c: Yukarı c birim kaydırma
- y = f(x) − c: Aşağı c birim kaydırma
- y = f(x − a): Sağa a birim kaydırma
- y = f(x + a): Sola a birim kaydırma
- y = −f(x): x eksenine göre yansıma
- y = f(−x): y eksenine göre yansıma
- y = −f(−x): Orijine göre yansıma
- y = a·f(x), a > 1: Dikey gerilme
- y = a·f(x), 0 < a < 1: Dikey sıkıştırma
- y = f(bx), b > 1: Yatay sıkıştırma
- y = f(bx), 0 < b < 1: Yatay gerilme
- y = |f(x)|: x ekseninin altı yukarıya yansır
- y = f(|x|): Sağ taraf sola kopyalanır
7. Grafik Üzerinde Özel Noktaların Dönüşümü
Fonksiyon dönüşümü sorularında belirli noktaların yeni konumlarını bulmak sık karşılaşılan bir soru tipidir. Bir (a, b) noktası üzerinde dönüşümlerin etkisi şöyle hesaplanır:
Dikey öteleme y = f(x) + c: (a, b) noktası (a, b + c) olur.
Yatay öteleme y = f(x − d): (a, b) noktası (a + d, b) olur.
x eksenine göre yansıma y = −f(x): (a, b) noktası (a, −b) olur.
y eksenine göre yansıma y = f(−x): (a, b) noktası (−a, b) olur.
Dikey gerilme y = k·f(x): (a, b) noktası (a, k·b) olur.
Yatay sıkıştırma y = f(k·x): (a, b) noktası (a/k, b) olur.
Bu kuralları sınav sorularında hızlıca uygulayabilmek için bol pratik yapmak gerekir.
8. Periyodik Fonksiyonlarda Dönüşüm
Periyodik fonksiyonlar, özellikle trigonometrik fonksiyonlar üzerinde dönüşüm uygulamak 11. sınıf matematiğinde önemli bir yer tutar. Örneğin y = sin(x) fonksiyonunda y = 2sin(3x − π) + 1 dönüşümü uygulandığında: genlik 2 olur (dikey gerilme), periyot 2π/3 olur (yatay sıkıştırma), faz kayması π/3 sağa olur (yatay öteleme) ve grafik 1 birim yukarı kayar (dikey öteleme). Bu tür problemlerde dönüşüm sırasını doğru uygulamak kritik önem taşır.
9. Sınavlarda Çıkan Soru Tipleri
11. Sınıf Matematik Fonksiyonların Dönüşümleri konusundan sınavlarda genellikle şu tiplerde sorular gelir:
Tip 1 — Grafik Eşleştirme: Verilen bir denklemin hangi grafikle eşleştiği sorulur. Bu sorularda tepe noktası, eksen kesim noktaları ve simetri eksenine bakarak hızlıca eşleştirme yapılabilir.
Tip 2 — Denklem Bulma: Orijinal grafik ve dönüşüm bilgisi verilerek yeni denklem sorulur. Dönüşüm kurallarını denklemde doğru uygulamak yeterlidir.
Tip 3 — Nokta Dönüşümü: Belirli noktaların dönüşüm sonrası koordinatları sorulur. Yukarıdaki tablo kuralları burada doğrudan uygulanır.
Tip 4 — Alan ve Değer Kümesi: Dönüşüm sonucunda tanım kümesi, değer kümesi veya grafik altında kalan alanın nasıl değiştiği sorulur.
10. Örnek Çözüm: Kapsamlı Uygulama
Soru: f(x) = x² fonksiyonunun grafiği önce 2 birim sola, sonra x eksenine göre yansıtılıp, ardından 3 birim yukarı kaydırılıyor. Elde edilen fonksiyonun denklemini bulunuz.
Çözüm:
Adım 1: 2 birim sola öteleme → f(x + 2) = (x + 2)²
Adım 2: x eksenine göre yansıma → −(x + 2)²
Adım 3: 3 birim yukarı öteleme → −(x + 2)² + 3
Sonuç: g(x) = −(x + 2)² + 3. Bu fonksiyonun tepe noktası (−2, 3) olur ve parabol aşağı doğru açılır.
11. Sık Yapılan Hatalar ve İpuçları
Hata 1: Yatay ötelemede işaret karışıklığı. f(x − 3) grafiği sola değil, sağa 3 birim kayar. İçerideki işaretin tersi yönde hareket edilir.
Hata 2: Dönüşüm sırasını karıştırmak. Birden fazla dönüşüm varken sıranın önemi büyüktür. Yatay dönüşümler önce, dikey dönüşümler sonra uygulanır.
Hata 3: Yatay gerilme/sıkıştırmada b katsayısının etkisini ters düşünmek. y = f(2x) grafiği genişlemez, daralır. Çarpan büyüdükçe grafik sıkışır.
İpucu 1: Her dönüşümü ayrı ayrı adım adım uygulayın. Tüm dönüşümleri aynı anda yapmaya çalışmak hata riskini artırır.
İpucu 2: Grafik çizim sorularında önce özel noktaları (tepe noktası, eksen kesim noktaları, simetri ekseni) dönüştürüp bunları işaretleyin, ardından grafiği çizin.
İpucu 3: Mutlak değer dönüşümlerinde önce orijinal grafiği çizin, sonra kuralı uygulayın. Bu görsel yaklaşım hata yapma olasılığını ciddi ölçüde azaltır.
12. Sonuç
11. Sınıf Matematik Fonksiyonların Dönüşümleri konusu, fonksiyonlar ünitesinin en işlevsel ve çok yönlü konularından biridir. Bu dönüşüm kurallarını iyi öğrenmek; grafik çizimi, fonksiyon analizi ve ileri matematik konularında sizlere büyük avantaj sağlayacaktır. Öteleme, yansıma, gerilme, sıkıştırma ve mutlak değer dönüşümlerinin her birini ayrı ayrı kavrayın, ardından birleşik dönüşüm sorularıyla pratik yapın. Bol soru çözerek bu konudaki hakimiyetinizi artırabilirsiniz.
Örnek Sorular
11. Sınıf Matematik Fonksiyonların Dönüşümleri Çözümlü Sorular
Aşağıda 11. Sınıf Matematik Fonksiyonların Dönüşümleri konusundan 10 adet çözümlü soru bulunmaktadır. Soruların 7 tanesi çoktan seçmeli, 3 tanesi açık uçludur. Her sorunun ardından ayrıntılı çözümü verilmiştir.
Soru 1 (Çoktan Seçmeli)
f(x) = x² fonksiyonunun grafiği 4 birim sağa ve 2 birim yukarı kaydırılırsa elde edilen fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?
- A) g(x) = (x + 4)² + 2
- B) g(x) = (x − 4)² + 2
- C) g(x) = (x − 4)² − 2
- D) g(x) = (x − 2)² + 4
- E) g(x) = (x + 4)² − 2
Çözüm: 4 birim sağa öteleme: f(x − 4) = (x − 4)². 2 birim yukarı öteleme: (x − 4)² + 2. Doğru cevap B seçeneğidir.
Soru 2 (Çoktan Seçmeli)
f(x) fonksiyonunun grafiği y eksenine göre yansıtılırsa elde edilen fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?
- A) −f(x)
- B) f(−x)
- C) −f(−x)
- D) f(x − 1)
- E) |f(x)|
Çözüm: y eksenine göre yansıma, x değişkeninin işaretini değiştirmekle elde edilir. Bu da f(−x) ifadesini verir. Doğru cevap B seçeneğidir.
Soru 3 (Çoktan Seçmeli)
f(x) = 2x − 1 fonksiyonunun grafiği x eksenine göre yansıtılıp 3 birim yukarı kaydırılıyor. Elde edilen g(x) fonksiyonunda g(4) kaçtır?
- A) −4
- B) −2
- C) 0
- D) 2
- E) 4
Çözüm: x eksenine göre yansıma: −f(x) = −(2x − 1) = −2x + 1. 3 birim yukarı öteleme: g(x) = −2x + 1 + 3 = −2x + 4. g(4) = −2(4) + 4 = −8 + 4 = −4. Doğru cevap A seçeneğidir.
Soru 4 (Çoktan Seçmeli)
y = f(x) grafiğinin tepe noktası (2, 5) olduğuna göre, y = f(x + 3) − 1 grafiğinin tepe noktası aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (5, 4)
- B) (−1, 4)
- C) (−1, 6)
- D) (5, 6)
- E) (2, 4)
Çözüm: f(x + 3) dönüşümü grafiği 3 birim sola kaydırır: x koordinatı 2 − 3 = −1. −1 dönüşümü grafiği 1 birim aşağı kaydırır: y koordinatı 5 − 1 = 4. Yeni tepe noktası (−1, 4). Doğru cevap B seçeneğidir.
Soru 5 (Çoktan Seçmeli)
f(x) = x² − 9 fonksiyonunda y = |f(x)| grafiği ile x ekseni arasında kalan bölgenin durumu aşağıdakilerden hangisinde doğru açıklanmıştır?
- A) Grafik tamamen x ekseninin üstündedir ve x ekseninin altında kalan kısım yoktur.
- B) Grafik −3 ile 3 arasında x ekseninin altına iner.
- C) Grafik hiç değişmez.
- D) Grafik tamamı x ekseninin altına geçer.
- E) Grafik yalnızca orijinden geçer.
Çözüm: f(x) = x² − 9 fonksiyonunda −3 < x < 3 aralığında f(x) < 0 olur. |f(x)| dönüşümü bu negatif kısmı yukarı yansıtır. Dolayısıyla grafik tamamen x ekseninin üstünde veya üzerinde kalır. Doğru cevap A seçeneğidir.
Soru 6 (Çoktan Seçmeli)
y = f(2x) dönüşümü grafiğe nasıl bir etki yapar?
- A) Grafiği yatay yönde 2 katına genişletir.
- B) Grafiği dikey yönde 2 katına uzatır.
- C) Grafiği yatay yönde yarıya sıkıştırır.
- D) Grafiği dikey yönde yarıya sıkıştırır.
- E) Grafiği 2 birim sağa kaydırır.
Çözüm: y = f(bx) dönüşümünde b > 1 olduğunda grafik yatay yönde 1/b oranında sıkışır. b = 2 olduğunda grafik yatay yönde yarıya sıkışır. Doğru cevap C seçeneğidir.
Soru 7 (Çoktan Seçmeli)
f(x) = x³ fonksiyonunun orijine göre simetriği aşağıdakilerden hangisidir?
- A) g(x) = −x³
- B) g(x) = x³ (kendisi)
- C) g(x) = (−x)³
- D) g(x) = x³ + 1
- E) g(x) = |x³|
Çözüm: Orijine göre simetri: y = −f(−x) = −(−x)³ = −(−x³) = x³. f(x) = x³ tek fonksiyon olduğundan orijine göre simetriği yine kendisidir. Doğru cevap B seçeneğidir.
Soru 8 (Açık Uçlu)
f(x) = √x fonksiyonunun grafiği önce y eksenine göre yansıtılıp, sonra 4 birim sağa kaydırılıyor. Elde edilen g(x) fonksiyonunun denklemini bulunuz ve tanım kümesini belirleyiniz.
Çözüm:
Adım 1: y eksenine göre yansıma → f(−x) = √(−x). Bu fonksiyon x ≤ 0 için tanımlıdır.
Adım 2: 4 birim sağa öteleme → √(−(x − 4)) = √(4 − x).
g(x) = √(4 − x). Tanım kümesi: 4 − x ≥ 0 → x ≤ 4. Yani tanım kümesi (−∞, 4] aralığıdır.
Soru 9 (Açık Uçlu)
Bir f(x) fonksiyonunun grafiği üzerindeki (3, −2) noktası, y = 2f(x − 1) + 5 dönüşümü sonucunda hangi noktaya dönüşür? Adım adım gösteriniz.
Çözüm:
Orijinal nokta: (3, −2), yani f(3) = −2.
Adım 1: y = f(x − 1) dönüşümünde x − 1 = 3 olmalıdır, yani x = 4. Nokta (4, −2) olur.
Adım 2: y = 2f(x − 1) dönüşümünde y değeri 2 ile çarpılır: y = 2 × (−2) = −4. Nokta (4, −4) olur.
Adım 3: y = 2f(x − 1) + 5 dönüşümünde y değerine 5 eklenir: y = −4 + 5 = 1. Nokta (4, 1) olur.
Sonuç: (3, −2) noktası (4, 1) noktasına dönüşür.
Soru 10 (Açık Uçlu)
f(x) = x² − 4x + 3 fonksiyonunun grafiğinin y = f(|x|) dönüşümünü çizebilmek için gerekli adımları açıklayınız ve fonksiyonun x eksenini kestiği noktaları bulunuz.
Çözüm:
Adım 1: Orijinal fonksiyonu inceleyelim. f(x) = x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3). Kökleri x = 1 ve x = 3, tepe noktası x = 2 ve f(2) = 4 − 8 + 3 = −1, yani tepe noktası (2, −1).
Adım 2: y = f(|x|) dönüşümünde x ≥ 0 olan kısım korunur. Yani x = 1 ve x = 3 kökleri ve (2, −1) tepe noktası aynen kalır.
Adım 3: x < 0 kısmı, x > 0 kısmının y eksenine göre yansımasıdır. Dolayısıyla x = −1 ve x = −3 de kök olur; (−2, −1) de simetrik tepe noktası olur.
x eksenini kestiği noktalar: x = −3, x = −1, x = 1, x = 3 olmak üzere dört noktadır.
Çalışma Kağıdı
11. Sınıf Matematik — Fonksiyonların Dönüşümleri Çalışma Kağıdı
Ad Soyad: _______________________ Sınıf / No: _______ Tarih: ___/___/______
Etkinlik 1: Boşluk Doldurma
Yönerge: Aşağıdaki cümlelerdeki boşlukları uygun ifadelerle doldurunuz.
1. y = f(x) + c dönüşümünde c > 0 ise grafik _________________ yönde c birim kayar.
2. y = f(x − a) dönüşümünde a > 0 ise grafik _________________ yönde a birim kayar.
3. y = −f(x) dönüşümü, grafiğin _________________ eksenine göre yansımasıdır.
4. y = f(−x) dönüşümü, grafiğin _________________ eksenine göre yansımasıdır.
5. y = −f(−x) dönüşümü, grafiğin _________________ göre yansımasıdır.
6. y = a·f(x) dönüşümünde a > 1 ise grafik dikey yönde _________________ .
7. y = f(bx) dönüşümünde b > 1 ise grafik yatay yönde _________________ .
8. y = |f(x)| dönüşümünde x ekseninin altında kalan kısımlar _________________ .
9. y = f(|x|) dönüşümünde grafiğin _________________ tarafı korunur ve diğer tarafa kopyalanır.
10. Bir fonksiyonun y = x doğrusuna göre simetriği o fonksiyonun _________________ grafiğidir.
Etkinlik 2: Eşleştirme
Yönerge: Sol sütundaki dönüşüm ifadesini, sağ sütundaki açıklamayla eşleştiriniz. Doğru harfi yanına yazınız.
1. y = f(x) + 5 ( ___ ) A. y eksenine göre yansıma
2. y = f(x + 2) ( ___ ) B. Dikey yönde 3 kat gerilme
3. y = −f(x) ( ___ ) C. 5 birim yukarı kaydırma
4. y = f(−x) ( ___ ) D. 2 birim sola kaydırma
5. y = 3f(x) ( ___ ) E. x eksenine göre yansıma
Etkinlik 3: Nokta Dönüşümü Tablosu
Yönerge: f(x) fonksiyonunun grafiğinde A(1, 4), B(−2, 0) ve C(3, −1) noktaları bulunmaktadır. Aşağıdaki dönüşümler sonucunda bu noktaların yeni koordinatlarını tablodaki boşluklara yazınız.
Dönüşüm: y = f(x − 2) + 3
A(1, 4) → ( ___ , ___ )
B(−2, 0) → ( ___ , ___ )
C(3, −1) → ( ___ , ___ )
Dönüşüm: y = −f(x)
A(1, 4) → ( ___ , ___ )
B(−2, 0) → ( ___ , ___ )
C(3, −1) → ( ___ , ___ )
Dönüşüm: y = f(−x)
A(1, 4) → ( ___ , ___ )
B(−2, 0) → ( ___ , ___ )
C(3, −1) → ( ___ , ___ )
Dönüşüm: y = 2f(x) − 1
A(1, 4) → ( ___ , ___ )
B(−2, 0) → ( ___ , ___ )
C(3, −1) → ( ___ , ___ )
Etkinlik 4: Grafik Çizim Alanı
Yönerge: Aşağıda f(x) = x² fonksiyonunun grafiği verilmiştir. İstenen dönüşümleri aynı koordinat düzleminde farklı renklerle çiziniz.
a) y = (x − 3)² grafiğini çiziniz. (Sağa 3 birim öteleme)
[Grafik Çizim Alanı — Kareli kağıt üzerine x: −6 ile 8, y: −6 ile 8 arası koordinat düzlemi çiziniz.]
b) y = −x² grafiğini çiziniz. (x eksenine göre yansıma)
[Grafik Çizim Alanı — Aynı koordinat düzlemini kullanınız.]
c) y = x² + 4 grafiğini çiziniz. (4 birim yukarı öteleme)
[Grafik Çizim Alanı — Aynı koordinat düzlemini kullanınız.]
d) y = (x + 2)² − 1 grafiğini çiziniz. (2 birim sola ve 1 birim aşağı öteleme)
[Grafik Çizim Alanı — Aynı koordinat düzlemini kullanınız.]
Etkinlik 5: Doğru-Yanlış
Yönerge: Aşağıdaki ifadeleri okuyunuz. Doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
1. ( ___ ) y = f(x + 3) dönüşümü grafiği 3 birim sağa kaydırır.
2. ( ___ ) y = −f(x) dönüşümünde grafiğin x eksenini kestiği noktalar değişmez.
3. ( ___ ) y = f(2x) dönüşümü grafiği yatay yönde 2 katına genişletir.
4. ( ___ ) y = |f(x)| dönüşümünde grafik tamamen x ekseninin üstünde veya üzerinde kalır.
5. ( ___ ) y = f(|x|) dönüşümünde grafik y eksenine göre simetrik hâle gelir.
6. ( ___ ) y = f(x) − 4 dönüşümü grafiği 4 birim aşağı kaydırır.
7. ( ___ ) Çift fonksiyonların y eksenine göre simetrisi yine kendisidir.
8. ( ___ ) y = 0,5·f(x) dönüşümü grafiği dikey yönde 2 katına uzatır.
Etkinlik 6: Kısa Cevaplı Sorular
Yönerge: Aşağıdaki soruları cevaplayınız.
1. f(x) = x² + 1 fonksiyonunun grafiği 3 birim sola kaydırılırsa elde edilen fonksiyonun denklemi nedir?
Cevap: _______________________________________________________
2. g(x) = 2x − 4 fonksiyonunun x eksenine göre yansıması nedir?
Cevap: _______________________________________________________
3. f(x) = √x fonksiyonunun grafiğinde (9, 3) noktası vardır. y = f(x) + 5 dönüşümünde bu noktanın görüntüsü nedir?
Cevap: _______________________________________________________
4. y = f(x) fonksiyonunun değer kümesi [−2, 6] ise y = 3f(x) fonksiyonunun değer kümesi nedir?
Cevap: _______________________________________________________
5. f(x) = x² − 4 fonksiyonunda y = |f(x)| grafiğinin x eksenini kestiği noktalar hangileridir?
Cevap: _______________________________________________________
Etkinlik 1 Cevapları: 1. yukarı 2. sağa 3. x 4. y 5. orijine 6. gerilir 7. sıkışır 8. yukarı yansıtılır 9. sağ (x ≥ 0) 10. ters fonksiyonunun
Etkinlik 2 Cevapları: 1-C 2-D 3-E 4-A 5-B
Etkinlik 3 Cevapları: y = f(x−2)+3: A(3,7) B(0,3) C(5,2) | y = −f(x): A(1,−4) B(−2,0) C(3,1) | y = f(−x): A(−1,4) B(2,0) C(−3,−1) | y = 2f(x)−1: A(1,7) B(−2,−1) C(3,−3)
Etkinlik 5 Cevapları: 1-Y 2-D 3-Y 4-D 5-D 6-D 7-D 8-Y
Etkinlik 6 Cevapları: 1. y = (x+3)²+1 2. y = −2x+4 3. (9, 8) 4. [−6, 18] 5. x = −2 ve x = 2
Sıkça Sorulan Sorular
11. Sınıf Matematik müfredatı 2025-2026 yılında kaç ünite?
2025-2026 müfredatına göre 11. sınıf matematik dersi birden fazla üniteden oluşmaktadır. Sayfadaki ünite listesinden güncel bilgiye ulaşabilirsiniz.
11. sınıf fonksiyonların dönüşümleri konuları hangi dönemlerde işleniyor?
11. sınıf matematik dersi konuları 1. dönem ve 2. dönem olarak iki yarıyılda işlenmektedir. Her ünitenin tahmini süre bilgisi Millî Eğitim Bakanlığı'nın haftalık ders planlarında yer almaktadır.
11. sınıf matematik müfredatı ne zaman güncellendi?
Gösterilen içerik 2025-2026 eğitim-öğretim yılı için güncellenmiştir. Millî Eğitim Bakanlığı'nın resmi sitesinde yayımlanan müfredat dokümanları esas alınmıştır.