Fonksiyonların günlük hayattaki uygulamaları ve problem çözümleri.
Konu Anlatımı
11. Sınıf Matematik – Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar Konu Anlatımı
Bu yazımızda 11. Sınıf Matematik Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar konusunu detaylı bir şekilde ele alacağız. MEB müfredatına uygun olarak hazırlanan bu konu anlatımı; fonksiyon kavramının tekrarı, bileşke fonksiyon, ters fonksiyon, parçalı fonksiyon, mutlak değerli fonksiyon, işaret fonksiyonu ve fonksiyonların günlük hayattaki uygulamalarını kapsamaktadır. Her alt başlık örneklerle desteklenmiştir.
1. Fonksiyon Kavramının Hatırlanması
Fonksiyon, bir A kümesinin her elemanını B kümesindeki yalnızca bir elemana eşleyen bağıntıdır. A kümesine tanım kümesi, B kümesine değer kümesi denir. Fonksiyonlarda her elemanın bir görüntüsü olmalı ve hiçbir eleman görüntüsüz kalmamalıdır. Eğer tanım kümesindeki bir eleman birden fazla görüntüye sahipse bu bağıntı fonksiyon değildir.
Örneğin f: A → B olmak üzere A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c} ise f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c şeklinde tanımlanan f bir fonksiyondur. Ancak 1 elemanı hem a'ya hem b'ye eşlenirse bu bir fonksiyon olmaz.
Fonksiyon gösterimi: f(x) = 2x + 3 ifadesinde x bağımsız değişken, f(x) ise bağımlı değişkendir. x yerine tanım kümesinden bir değer yazıldığında elde edilen sonuç, o elemanın görüntüsüdür. Örneğin f(2) = 2·2 + 3 = 7 bulunur.
2. Fonksiyon Türleri
Fonksiyonları sınıflandırmak, Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar konusunun temelini oluşturur. İşte en sık karşılaşılan fonksiyon türleri:
2.1. Birim (Özdeşlik) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyondur. f(x) = x şeklinde tanımlanır. Grafik olarak y = x doğrusudur ve orijinden geçer, eğimi 1'dir. Birim fonksiyon hem birebir hem örtendir.
2.2. Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki her elemanı değer kümesindeki aynı tek bir elemana eşleyen fonksiyondur. f(x) = c (c sabit) şeklinde gösterilir. Örneğin f(x) = 5 bir sabit fonksiyondur; x ne olursa olsun sonuç daima 5'tir. Grafiği x eksenine paralel yatay bir doğrudur.
2.3. Doğrusal Fonksiyon
f(x) = ax + b (a ≠ 0) şeklinde tanımlanan fonksiyondur. Grafiği bir doğrudur. a eğimi, b ise y eksenini kestiği noktayı belirler. Eğer a > 0 ise fonksiyon artan, a < 0 ise azalandır.
2.4. Parçalı Fonksiyon
Tanım kümesinin farklı alt aralıklarında farklı kurallarla tanımlanan fonksiyonlara parçalı fonksiyon denir. Günlük hayatta pek çok uygulama parçalı fonksiyonla modellenir.
Örnek: Bir otoparkın ücret tarifesi şu şekildedir: İlk 2 saat 20 TL, sonraki her saat 10 TL ise bu durum parçalı fonksiyonla ifade edilir:
f(x) = 20, 0 < x ≤ 2
f(x) = 20 + 10·(x − 2), x > 2
Bu fonksiyona göre 5 saatlik park ücreti: f(5) = 20 + 10·(5 − 2) = 20 + 30 = 50 TL olur.
2.5. Mutlak Değerli Fonksiyon
f(x) = |g(x)| şeklinde tanımlanan fonksiyonlardır. Mutlak değer daima sıfır veya pozitif sonuç verir. En temel hâli f(x) = |x| olup grafiği V şeklindedir ve orijinde tepe noktası bulunur.
Örnek: f(x) = |2x − 6| fonksiyonunun sıfırı: 2x − 6 = 0 → x = 3 noktasıdır. x = 3'ün solunda fonksiyon −(2x − 6) = −2x + 6, sağında ise 2x − 6 kuralını kullanır.
2.6. İşaret Fonksiyonu (Signum)
İşaret fonksiyonu sgn(x) şeklinde gösterilir ve şu kuralla tanımlanır:
sgn(x) = 1, x > 0
sgn(x) = 0, x = 0
sgn(x) = −1, x < 0
Grafiği üç yatay parçadan oluşur. Günlük hayatta bir büyüklüğün pozitif mi negatif mi yoksa sıfır mı olduğunu belirlemek için kullanılır.
2.7. Tam Değer (Taban) Fonksiyonu
f(x) = [x] veya f(x) = ⌊x⌋ ile gösterilir. Bir gerçel sayının kendisine eşit veya kendisinden küçük en büyük tamsayıyı verir. Örneğin [3,7] = 3, [−2,3] = −3, [5] = 5 olur. Grafiği basamak şeklindedir ve her birim aralıkta sabit bir değer alır.
3. Bileşke Fonksiyon
Bileşke fonksiyon, iki fonksiyonun arka arkaya uygulanmasıyla elde edilen yeni bir fonksiyondur. f ve g fonksiyonları verildiğinde (f ∘ g)(x) = f(g(x)) şeklinde tanımlanır. Yani önce g uygulanır, çıkan sonuca f uygulanır.
Önemli özellikler:
- Bileşke işlemi genel olarak değişmeli değildir: f ∘ g ≠ g ∘ f (her zaman değil ama çoğu durumda).
- Bileşke işlemi birleşmeli (asosiyatif) dir: (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h).
- Birim fonksiyon e(x) = x ile: f ∘ e = e ∘ f = f.
Örnek 1: f(x) = 3x + 1 ve g(x) = x² − 2 ise (f ∘ g)(x) değerini bulalım.
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x² − 2) = 3·(x² − 2) + 1 = 3x² − 6 + 1 = 3x² − 5
Örnek 2: Aynı fonksiyonlar için (g ∘ f)(x) değerini bulalım.
(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 1) = (3x + 1)² − 2 = 9x² + 6x + 1 − 2 = 9x² + 6x − 1
Görüldüğü gibi f ∘ g ≠ g ∘ f olduğu doğrulanmıştır.
Örnek 3: f(x) = 2x − 4 ise (f ∘ f)(x) nedir?
(f ∘ f)(x) = f(f(x)) = f(2x − 4) = 2·(2x − 4) − 4 = 4x − 8 − 4 = 4x − 12
4. Ters Fonksiyon
Bir f fonksiyonunun ters fonksiyonu f⁻¹ ile gösterilir. Ters fonksiyon bulunabilmesi için f'nin birebir ve örten olması gerekir. Ters fonksiyonun temel özelliği: (f ∘ f⁻¹)(x) = (f⁻¹ ∘ f)(x) = x olmasıdır.
Ters fonksiyon bulma adımları:
- y = f(x) yazılır.
- x, y cinsinden çözülür.
- x ve y yer değiştirilir. Elde edilen ifade f⁻¹(x)'tir.
Örnek 1: f(x) = 3x − 6 fonksiyonunun tersini bulalım.
y = 3x − 6 → y + 6 = 3x → x = (y + 6)/3
x ve y yer değiştirilirse: f⁻¹(x) = (x + 6)/3
Doğrulama: (f ∘ f⁻¹)(x) = f((x + 6)/3) = 3·((x + 6)/3) − 6 = x + 6 − 6 = x ✓
Örnek 2: f(x) = (2x + 1)/(x − 3) fonksiyonunun tersini bulalım (x ≠ 3).
y = (2x + 1)/(x − 3)
y·(x − 3) = 2x + 1
yx − 3y = 2x + 1
yx − 2x = 3y + 1
x·(y − 2) = 3y + 1
x = (3y + 1)/(y − 2)
f⁻¹(x) = (3x + 1)/(x − 2), x ≠ 2
Ters fonksiyonun grafiksel yorumu: f ve f⁻¹ fonksiyonlarının grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir. Bu önemli bir geometrik özelliktir ve sınavlarda grafik sorularında sıkça kullanılır.
5. Fonksiyonların Grafikleri ve Dönüşümler
Fonksiyon grafiklerinin ötelenmesi, yansıtılması ve genişletilip daraltılması fonksiyonlarla ilgili uygulamalar kapsamında önemli yer tutar.
Öteleme:
y = f(x) + c grafiği, y = f(x)'in c birim yukarı (c > 0) veya aşağı (c < 0) ötelenmişidir.
y = f(x − a) grafiği, y = f(x)'in a birim sağa (a > 0) veya sola (a < 0) ötelenmişidir.
Yansıma:
y = −f(x) → x eksenine göre yansıma.
y = f(−x) → y eksenine göre yansıma.
Örnek: f(x) = x² fonksiyonu verilsin. g(x) = (x − 3)² + 2 fonksiyonunun grafiği, f(x)'in 3 birim sağa ve 2 birim yukarı ötelenmişidir. Tepe noktası (0, 0)'dan (3, 2)'ye taşınmıştır.
6. Fonksiyonlarda Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
Fonksiyonlarla ilgili pek çok problem, denklem veya eşitsizlik çözümüne dayanır.
Örnek 1: f(x) = x² − 5x + 6 fonksiyonunun sıfırlarını bulalım.
x² − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2 veya x = 3
Örnek 2: f(x) = 2x + 3 ve g(x) = x² − 1 fonksiyonları için f(x) = g(x) denklemini çözelim.
2x + 3 = x² − 1 → x² − 2x − 4 = 0
Δ = 4 + 16 = 20 → x = (2 ± √20)/2 = (2 ± 2√5)/2 = 1 ± √5
Örnek 3 (Eşitsizlik): f(x) = |x − 4| ≤ 3 eşitsizliğini çözelim.
−3 ≤ x − 4 ≤ 3 → 1 ≤ x ≤ 7. Çözüm kümesi [1, 7] aralığıdır.
7. Günlük Hayatta Fonksiyon Uygulamaları
11. Sınıf Matematik Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar ünitesinin en önemli bölümlerinden biri, fonksiyonların gerçek hayat problemlerinde kullanılmasıdır.
Uygulama 1 – Mesafe-Zaman İlişkisi:
Saatte 80 km hızla giden bir aracın aldığı yol fonksiyonla ifade edilir: s(t) = 80t (km). Burada t saat cinsinden zamanı gösterir. 3 saatte alınan yol: s(3) = 80·3 = 240 km olur.
Uygulama 2 – Kâr Fonksiyonu:
Bir firmanın x adet ürün satışından elde ettiği kâr K(x) = −2x² + 120x − 400 TL olarak modellensin. Maksimum kârı bulmak için tepe noktası hesaplanır:
x = −b/(2a) = −120/(2·(−2)) = 30 adet
K(30) = −2·900 + 120·30 − 400 = −1800 + 3600 − 400 = 1400 TL
Firma 30 adet ürün sattığında maksimum 1400 TL kâr elde eder.
Uygulama 3 – Sıcaklık Dönüşümü:
Celsius'tan Fahrenheit'a dönüşüm fonksiyonu: F(C) = (9/5)·C + 32
25°C kaç °F'dir? F(25) = (9/5)·25 + 32 = 45 + 32 = 77°F
Bu fonksiyonun tersi: C(F) = (5/9)·(F − 32) olup Fahrenheit'tan Celsius'a dönüşümü verir.
Uygulama 4 – Taksi Ücreti:
Bir şehirde taksi ücreti açılış 15 TL, her km için 8 TL ise ücret fonksiyonu: U(x) = 15 + 8x (x km mesafe). 12 km'lik bir yolculuğun ücreti: U(12) = 15 + 96 = 111 TL olur.
Uygulama 5 – Nüfus Artışı:
Bir şehrin nüfusu yıllık %3 artıyorsa ve başlangıç nüfusu 500.000 ise t yıl sonraki nüfus: N(t) = 500000·(1,03)^t olur. 10 yıl sonra: N(10) = 500000·(1,03)^10 ≈ 500000·1,3439 ≈ 671.958 kişi olur.
8. Fonksiyon Problemlerinde Sık Yapılan Hatalar
Öğrencilerin fonksiyonlarla ilgili uygulamalar konusunda sıkça yaptığı hatalar şunlardır:
- Bileşke sırasını karıştırmak: (f ∘ g)(x) ile (g ∘ f)(x) farklıdır. Önce iç fonksiyon, sonra dış fonksiyon uygulanır.
- Ters fonksiyonda tanım kümesini ihmal etmek: Ters fonksiyonun tanım kümesi, orijinal fonksiyonun görüntü kümesidir.
- Mutlak değerde işaret kontrolünü atlama: Mutlak değerli ifadelerde parçalara ayırırken işaret analizi titizlikle yapılmalıdır.
- Parçalı fonksiyonda yanlış aralık seçimi: Verilen x değerinin hangi aralığa düştüğü dikkatle belirlenmelidir.
9. Bileşke ve Ters Fonksiyonda İleri Düzey Örnekler
Sınav başarısı için çeşitli soru tiplerini çözmek önemlidir. İşte birkaç ileri örnek:
Örnek 1: f(x) = 4x − 3 ve (f ∘ g)(x) = 8x + 5 ise g(x)'i bulalım.
f(g(x)) = 8x + 5 → 4·g(x) − 3 = 8x + 5 → 4·g(x) = 8x + 8 → g(x) = 2x + 2
Örnek 2: f(x) = 5x + a ve f⁻¹(3) = 2 ise a değerini bulalım.
f⁻¹(3) = 2 demek f(2) = 3 demektir. f(2) = 5·2 + a = 10 + a = 3 → a = −7
Örnek 3: f(x) = (x + 1)/(x − 1) fonksiyonunun kendine ters olduğunu gösterelim (x ≠ 1).
(f ∘ f)(x) = f(f(x)) = f((x + 1)/(x − 1))
= ((x + 1)/(x − 1) + 1) / ((x + 1)/(x − 1) − 1)
= ((x + 1 + x − 1)/(x − 1)) / ((x + 1 − x + 1)/(x − 1))
= (2x/(x − 1)) / (2/(x − 1))
= 2x/2 = x
Demek ki f ∘ f = birim fonksiyon olduğundan f⁻¹ = f, yani fonksiyon kendisinin tersidir.
10. Özet ve Tekrar
11. Sınıf Matematik Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar konusunu özetleyecek olursak: Fonksiyonlar matematiğin en temel yapı taşlarından biridir. Birebir, örten, bileşke ve ters fonksiyon kavramlarını iyi anlamak, hem sınav sorularını çözmek hem de günlük hayat problemlerini modellemek için büyük önem taşır. Parçalı fonksiyon, mutlak değerli fonksiyon ve tam değer fonksiyonu gibi özel türler sınav sorularında sıkça karşımıza çıkar. Grafik dönüşümlerini bilmek ise görsel soruları hızla çözmeyi sağlar.
Bu konuyu pekiştirmek için bol soru çözmek, farklı fonksiyon türleriyle pratik yapmak ve özellikle bileşke-ters fonksiyon ilişkisini çeşitli örnekler üzerinden tekrar etmek büyük fayda sağlayacaktır. Başarılar!
Örnek Sorular
11. Sınıf Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar – Çözümlü Sorular
Aşağıda 11. Sınıf Matematik Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar konusuna ait 10 adet çözümlü soru bulunmaktadır. İlk 6 soru çoktan seçmeli, son 4 soru açık uçludur.
Soru 1 (Çoktan Seçmeli)
f(x) = 3x − 5 ve g(x) = x² + 1 ise (f ∘ g)(2) kaçtır?
A) 10 B) 12 C) 15 D) 8 E) 20
Çözüm:
Önce g(2) bulunur: g(2) = 4 + 1 = 5
Sonra f(5) = 3·5 − 5 = 15 − 5 = 10
Cevap: A) 10
Soru 2 (Çoktan Seçmeli)
f(x) = 2x + 7 fonksiyonunun ters fonksiyonu f⁻¹(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) (x + 7)/2 B) (x − 7)/2 C) 2x − 7 D) (7 − x)/2 E) 7x − 2
Çözüm:
y = 2x + 7 → y − 7 = 2x → x = (y − 7)/2
x ve y yer değiştirilir: f⁻¹(x) = (x − 7)/2
Cevap: B) (x − 7)/2
Soru 3 (Çoktan Seçmeli)
f(x) = |2x − 8| + 3 fonksiyonunun minimum değeri kaçtır?
A) 0 B) 3 C) 5 D) 8 E) 11
Çözüm:
|2x − 8| ≥ 0 olduğundan minimum değeri 0'dır. Bu durumda f(x)'in minimum değeri 0 + 3 = 3 olur. Minimum, 2x − 8 = 0 yani x = 4 iken elde edilir.
Cevap: B) 3
Soru 4 (Çoktan Seçmeli)
f(x) = 5x + a ve f⁻¹(7) = 1 olduğuna göre a kaçtır?
A) −2 B) 2 C) 12 D) −12 E) 0
Çözüm:
f⁻¹(7) = 1 ise f(1) = 7 demektir.
f(1) = 5·1 + a = 5 + a = 7 → a = 2
Cevap: B) 2
Soru 5 (Çoktan Seçmeli)
f(x) = 4x − 1 ve g(x) = x + 3 ise (g ∘ f)(x) = 22 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Çözüm:
(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = f(x) + 3 = (4x − 1) + 3 = 4x + 2
4x + 2 = 22 → 4x = 20 → x = 5
Cevap: C) 5
Soru 6 (Çoktan Seçmeli)
Parçalı fonksiyon: f(x) = x² + 1 (x < 0) ve f(x) = 3x − 2 (x ≥ 0) olarak tanımlanıyor. f(−2) + f(4) kaçtır?
A) 13 B) 15 C) 17 D) 19 E) 21
Çözüm:
x = −2 < 0 olduğundan f(−2) = (−2)² + 1 = 4 + 1 = 5
x = 4 ≥ 0 olduğundan f(4) = 3·4 − 2 = 12 − 2 = 10
f(−2) + f(4) = 5 + 10 = 15
Cevap: B) 15
Soru 7 (Açık Uçlu)
f(x) = (3x − 2)/(x + 4) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz (x ≠ −4).
Çözüm:
y = (3x − 2)/(x + 4)
y·(x + 4) = 3x − 2
yx + 4y = 3x − 2
yx − 3x = −4y − 2
x·(y − 3) = −4y − 2
x = (−4y − 2)/(y − 3)
x ve y yer değiştirilir:
f⁻¹(x) = (−4x − 2)/(x − 3) , x ≠ 3
Soru 8 (Açık Uçlu)
f(x) = 2x + 3 ve (f ∘ g)(x) = 6x − 1 ise g(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
f(g(x)) = 6x − 1
2·g(x) + 3 = 6x − 1
2·g(x) = 6x − 4
g(x) = 3x − 2
g(x) = 3x − 2
Soru 9 (Açık Uçlu)
Bir mağaza şu kampanyayı düzenliyor: 200 TL'ye kadar alışverişlerde %10, 200 TL üzeri alışverişlerde ilk 200 TL'ye %10 ve kalan kısma %20 indirim uygulanıyor. İndirimli fiyatı x (toplam tutar) cinsinden parçalı fonksiyon olarak yazınız ve 350 TL'lik alışverişin indirimli fiyatını hesaplayınız.
Çözüm:
0 < x ≤ 200 için indirim: 0,10·x → ödenen: f(x) = x − 0,10x = 0,90x
x > 200 için indirim: 0,10·200 + 0,20·(x − 200) = 20 + 0,20x − 40 = 0,20x − 20
Ödenen: f(x) = x − (0,20x − 20) = 0,80x + 20
Parçalı fonksiyon: f(x) = 0,90x (0 < x ≤ 200) ve f(x) = 0,80x + 20 (x > 200)
x = 350 için: f(350) = 0,80·350 + 20 = 280 + 20 = 300 TL
350 TL'lik alışverişin indirimli fiyatı 300 TL'dir.
Soru 10 (Açık Uçlu)
f(x) = x² − 6x + 10 fonksiyonunun [0, 8] aralığında en küçük ve en büyük değerlerini bulunuz.
Çözüm:
f(x) = x² − 6x + 10 = (x − 3)² + 1 (tam kare haline getirildi)
Tepe noktası x = 3'te ve minimum değer f(3) = 0 + 1 = 1
Aralığın uç noktaları kontrol edilir:
f(0) = 0 − 0 + 10 = 10
f(8) = 64 − 48 + 10 = 26
[0, 8] aralığında en küçük değer x = 3'te 1, en büyük değer x = 8'de 26'dır.
Çalışma Kağıdı
11. Sınıf Matematik – Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar Çalışma Kağıdı
Ad Soyad: ______________________ Sınıf/No: ______ Tarih: ___/___/______
Etkinlik 1: Boşluk Doldurma
Aşağıdaki cümlelerdeki boşlukları uygun ifadelerle doldurunuz.
1. Bir A kümesinin her elemanını B kümesindeki yalnızca bir elemana eşleyen bağıntıya __________________ denir.
2. f(x) = c şeklindeki fonksiyonlara __________________ fonksiyon denir.
3. (f ∘ g)(x) ifadesinde önce __________ fonksiyonu, ardından __________ fonksiyonu uygulanır.
4. Bir fonksiyonun tersinin bulunabilmesi için fonksiyonun __________ ve __________ olması gerekir.
5. f ve f⁻¹ fonksiyonlarının grafikleri __________ doğrusuna göre simetriktir.
6. |x| fonksiyonunun grafiği __________ şeklindedir ve tepe noktası __________'dedir.
7. [3,9] = __________ , [−1,4] = __________ (tam değer fonksiyonu)
8. sgn(−15) = __________ , sgn(0) = __________
Etkinlik 2: Eşleştirme
Sol sütundaki fonksiyonları sağ sütundaki ters fonksiyonlarıyla eşleştiriniz.
A. f(x) = 2x + 6 1. f⁻¹(x) = (x + 1)/5
B. f(x) = 5x − 1 2. f⁻¹(x) = (x − 6)/2
C. f(x) = (x − 3)/4 3. f⁻¹(x) = x/3 + 2
D. f(x) = 3(x − 2) 4. f⁻¹(x) = 4x + 3
Cevaplarınız: A → ___ B → ___ C → ___ D → ___
Etkinlik 3: Hesaplama Soruları
Aşağıdaki soruları verilen boşluklara çözünüz.
1. f(x) = 4x − 7 ise f(3) = ?
2. f(x) = x² + 2x − 3 ise f(−1) = ?
3. f(x) = 3x + 1, g(x) = 2x − 5 ise (f ∘ g)(4) = ?
4. f(x) = 8x − 12 fonksiyonunun tersini bulunuz.
5. f(x) = |3x − 12| ise f(2) + f(6) = ?
Etkinlik 4: Bileşke Fonksiyon Tablosu
f ve g fonksiyonları tablodaki gibidir. Tabloyu tamamlayınız.
| x | f(x) = 2x + 3 | g(x) = x² − 1 | (f ∘ g)(x) | (g ∘ f)(x) |
|------|----------------|----------------|------------|------------|
| −2 | _____ | _____ | _____ | _____ |
| −1 | _____ | _____ | _____ | _____ |
| 0 | _____ | _____ | _____ | _____ |
| 1 | _____ | _____ | _____ | _____ |
| 2 | _____ | _____ | _____ | _____ |
| 3 | _____ | _____ | _____ | _____ |
Etkinlik 5: Günlük Hayat Problemi
Bir kargo şirketi aşağıdaki tarifeyi uygulamaktadır:
- 0 − 5 kg arası: Sabit 30 TL
- 5 kg üzeri: 30 TL + her ek kg için 6 TL
a) Bu tarifeyi parçalı fonksiyon olarak yazınız.
b) 12 kg'lık bir paketin kargo ücreti kaç TL'dir?
c) Kargo ücreti 72 TL olan bir paketin ağırlığı kaç kg'dır?
Etkinlik 6: Ters Fonksiyon Bulma Pratiği
Aşağıdaki fonksiyonların terslerini adım adım bulunuz.
1. f(x) = (5x + 3)/2
2. f(x) = (x − 4)/(x + 2) (x ≠ −2)
Etkinlik 7: Doğru / Yanlış
Aşağıdaki ifadelerin doğru veya yanlış olduğunu belirtiniz.
1. ( ) Her fonksiyonun bir ters fonksiyonu vardır.
2. ( ) Bileşke işlemi her zaman değişmelidir (f ∘ g = g ∘ f).
3. ( ) Sabit fonksiyon birebir değildir.
4. ( ) |x| fonksiyonunun değeri her zaman sıfır veya pozitiftir.
5. ( ) f(x) = 2x + 1 fonksiyonu birebir ve örtendir (ℝ → ℝ).
6. ( ) f⁻¹(f(x)) = x her zaman doğrudur (f tersinir ise).
Etkinlik Cevap Anahtarı
Etkinlik 1: 1. fonksiyon 2. sabit 3. g, f 4. birebir, örten 5. y = x 6. V, orijin 7. 3, −2 8. −1, 0
Etkinlik 2: A→2, B→1, C→4, D→3
Etkinlik 3: 1. 5 2. −4 3. 10 4. f⁻¹(x)=(x+12)/8 5. 6+6=12
Etkinlik 5: a) f(x)=30 (0<x≤5), f(x)=30+6(x−5) (x>5) b) f(12)=30+6·7=72 TL c) 72=30+6(x−5)→x=12 kg
Etkinlik 6: 1. f⁻¹(x)=(2x−3)/5 2. f⁻¹(x)=(−2x−4)/(x−1), x≠1
Etkinlik 7: 1. Y 2. Y 3. D 4. D 5. D 6. D
Sıkça Sorulan Sorular
11. Sınıf Matematik müfredatı 2025-2026 yılında kaç ünite?
2025-2026 müfredatına göre 11. sınıf matematik dersi birden fazla üniteden oluşmaktadır. Sayfadaki ünite listesinden güncel bilgiye ulaşabilirsiniz.
11. sınıf fonksiyonlarla İlgili uygulamalar konuları hangi dönemlerde işleniyor?
11. sınıf matematik dersi konuları 1. dönem ve 2. dönem olarak iki yarıyılda işlenmektedir. Her ünitenin tahmini süre bilgisi Millî Eğitim Bakanlığı'nın haftalık ders planlarında yer almaktadır.
11. sınıf matematik müfredatı ne zaman güncellendi?
Gösterilen içerik 2025-2026 eğitim-öğretim yılı için güncellenmiştir. Millî Eğitim Bakanlığı'nın resmi sitesinde yayımlanan müfredat dokümanları esas alınmıştır.