Koşullu olasılık kavramı, bağımlı ve bağımsız olaylar.
Konu Anlatımı
11. Sınıf Matematik Koşullu Olasılık Konu Anlatımı
Olasılık, matematiğin günlük hayatla en çok iç içe geçen alanlarından biridir. Hava durumu tahminlerinden tıbbi testlere, sigorta hesaplamalarından yapay zekâ algoritmalarına kadar pek çok alanda olasılık hesapları kullanılır. 11. Sınıf Matematik Koşullu Olasılık konusu ise olasılık teorisinin en kritik yapı taşlarından birini oluşturur. Bu rehberde koşullu olasılığın ne olduğunu, formüllerini, Bayes Teoremi ile ilişkisini ve bol miktarda çözümlü örneği bulacaksınız.
Koşullu Olasılık Nedir?
Koşullu olasılık, bir olayın gerçekleşme olasılığının başka bir olayın zaten gerçekleşmiş olduğu bilgisi altında hesaplanmasıdır. Günlük hayattan basit bir örnekle açıklayalım: Yarın yağmur yağma olasılığı %30 olsun. Ancak bugün gökyüzünün tamamen bulutlu olduğunu biliyorsanız, yarın yağmur yağma olasılığınız artık %30 değil, belki %70 ya da %80 olabilir. İşte burada "gökyüzünün bulutlu olması" koşulu altında yağmur yağma olasılığını hesaplıyoruz. Bu durum koşullu olasılığın ta kendisidir.
Matematiksel olarak ifade edecek olursak: A ve B iki olay olmak üzere, B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A olayının gerçekleşme olasılığına A'nın B koşullu olasılığı denir ve P(A|B) şeklinde gösterilir.
Koşullu Olasılık Formülü
Koşullu olasılığın temel formülü şu şekildedir:
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) (P(B) > 0 olmak koşuluyla)
Bu formülde:
- P(A|B): B olayı gerçekleştiğinde A olayının gerçekleşme olasılığıdır. Dikey çizgi "koşuluyla" veya "verildiğinde" anlamına gelir.
- P(A ∩ B): Hem A hem de B olayının aynı anda gerçekleşme olasılığıdır. Buna A ve B'nin kesişim olasılığı da denir.
- P(B): B olayının gerçekleşme olasılığıdır ve sıfırdan büyük olmalıdır çünkü imkânsız bir olay koşul olamaz.
Bu formülü sezgisel olarak şöyle anlayabiliriz: Örneklem uzayımızı B olayının gerçekleştiği durumlarla sınırlıyoruz. Bu yeni, küçültülmüş örneklem uzayı içinde A olayının da gerçekleştiği durumların oranını arıyoruz. Bu yüzden paydaya P(B), paya ise P(A ∩ B) koyuyoruz.
Koşullu Olasılık ile İlgili Temel Özellikler
11. Sınıf Matematik Koşullu Olasılık konusunda aşağıdaki temel özellikleri mutlaka bilmeniz gerekir:
- P(A|B) ≠ P(B|A): Koşullu olasılık simetrik değildir. Yani A'nın B koşuluyla olasılığı ile B'nin A koşuluyla olasılığı genellikle farklıdır. Örneğin bir kişinin grip olduğu bilindiğinde ateşli olma olasılığı ile bir kişinin ateşli olduğu bilindiğinde grip olma olasılığı farklıdır.
- 0 ≤ P(A|B) ≤ 1: Koşullu olasılık da klasik olasılık gibi 0 ile 1 arasında bir değer alır.
- P(A ∩ B) = P(A|B) · P(B): Koşullu olasılık formülünden elde edilen bu eşitliğe çarpım kuralı denir. İki olayın kesişim olasılığını bulmak için çok kullanışlıdır.
- P(A ∩ B) = P(B|A) · P(A): Çarpım kuralının simetrik hâlidir.
Çarpım Kuralı ve Kullanımı
Çarpım kuralı, koşullu olasılık formülünün yeniden düzenlenmesiyle elde edilir ve pratikte çok sık kullanılır. İki olayın aynı anda gerçekleşme olasılığını hesaplamak istediğimizde koşullu olasılığı bilmek büyük kolaylık sağlar.
P(A ∩ B) = P(A|B) · P(B) = P(B|A) · P(A)
Bu kural özellikle ardışık olayların olasılığını hesaplarken çok işe yarar. Örneğin bir torbadan art arda iki top çekerken, ikinci çekimin olasılığı birinci çekimin sonucuna bağlıdır. İlk çekimde kırmızı top geldiğinde ikinci çekimde mavi top gelme olasılığını bulmak için çarpım kuralını kullanırız.
Örnek: Bir torbada 5 kırmızı ve 3 mavi top vardır. Torbadan iade etmeden art arda 2 top çekiliyor. İlk çekilen topun kırmızı, ikinci çekilen topun mavi olma olasılığı nedir?
Çözüm: A: İlk top kırmızı, B: İkinci top mavi olsun. P(A) = 5/8 çünkü torbada 8 toptan 5'i kırmızıdır. İlk top kırmızı çekildiğinde torbada 4 kırmızı ve 3 mavi top kalır, toplam 7 top olur. Bu durumda P(B|A) = 3/7 olur. Çarpım kuralından P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A) = (5/8) · (3/7) = 15/56 bulunur.
Bağımsız Olaylar ve Koşullu Olasılık
11. Sınıf Matematik Koşullu Olasılık konusunda bağımsız olaylar kavramı da büyük önem taşır. İki olay birbirinden bağımsızsa, birinin gerçekleşmesi diğerinin olasılığını etkilemez. Matematiksel olarak:
A ve B bağımsız olaylar ise P(A|B) = P(A) ve P(B|A) = P(B) olur.
Bu durumda çarpım kuralı sadeleşerek şu hâli alır: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Bu eşitlik aynı zamanda bağımsızlığın tanımı olarak da kullanılır. Yani iki olayın bağımsız olup olmadığını kontrol etmek için P(A ∩ B) = P(A) · P(B) eşitliğinin sağlanıp sağlanmadığına bakılır.
Örnek: Bir zar atılıyor. A: Çift sayı gelme olayı, B: 4'ten büyük sayı gelme olayı. Bu iki olay bağımsız mıdır?
Çözüm: A = {2, 4, 6}, P(A) = 3/6 = 1/2. B = {5, 6}, P(B) = 2/6 = 1/3. A ∩ B = {6}, P(A ∩ B) = 1/6. P(A) · P(B) = (1/2)(1/3) = 1/6. P(A ∩ B) = P(A) · P(B) olduğundan A ve B bağımsız olaylardır. Doğrulama: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = (1/6) / (1/3) = 1/2 = P(A). Bağımsızlık doğrulandı.
Bağımlı Olaylar
Eğer bir olayın gerçekleşmesi diğer olayın olasılığını değiştiriyorsa bu olaylar bağımlıdır. Bağımlı olaylarda P(A|B) ≠ P(A) olur. Yukarıda verdiğimiz torba örneği bağımlı olaylara güzel bir örnektir: İadesiz çekimde ilk çekimin sonucu ikinci çekimin olasılığını doğrudan etkiler.
Bağımlı ve bağımsız olay ayrımını iyi yapmak, koşullu olasılık sorularını doğru çözmek için kritik öneme sahiptir.
Toplam Olasılık Teoremi
Toplam olasılık teoremi, bir olayın olasılığını farklı koşullar altındaki olasılıkların toplamı olarak hesaplamamıza olanak tanır. Örneklem uzayı B₁, B₂, …, Bₙ şeklinde birbirini dışlayan ve tüm uzayı kapsayan olaylara ayrılmışsa:
P(A) = P(A|B₁)·P(B₁) + P(A|B₂)·P(B₂) + … + P(A|Bₙ)·P(Bₙ)
Bu teorem özellikle karmaşık problemlerde, bir olayın olasılığını farklı senaryolara bölerek hesaplamak için kullanılır.
Örnek: Bir fabrikada üç makine üretim yapmaktadır. I. makine üretimin %50'sini, II. makine %30'unu, III. makine %20'sini karşılar. I. makineden çıkan ürünlerin %2'si, II. makineden çıkanların %3'ü, III. makineden çıkanların %5'i kusurludur. Rastgele seçilen bir ürünün kusurlu olma olasılığı nedir?
Çözüm: A: Ürün kusurlu, B₁: I. makineden, B₂: II. makineden, B₃: III. makineden üretilmiş olsun. P(B₁) = 0.50, P(B₂) = 0.30, P(B₃) = 0.20. P(A|B₁) = 0.02, P(A|B₂) = 0.03, P(A|B₃) = 0.05. Toplam olasılık teoreminden: P(A) = (0.02)(0.50) + (0.03)(0.30) + (0.05)(0.20) = 0.01 + 0.009 + 0.01 = 0.029. Rastgele seçilen bir ürünün kusurlu olma olasılığı %2,9'dur.
Bayes Teoremi
Bayes Teoremi, koşullu olasılığın en güçlü uygulamalarından biridir ve 11. Sınıf Matematik Koşullu Olasılık müfredatında önemli bir yer tutar. Bu teorem, P(B|A) bilindiğinde P(A|B)'yi hesaplamamıza, yani koşullu olasılığı "tersine çevirmemize" olanak tanır.
Bayes Formülü:
P(Bₖ|A) = P(A|Bₖ) · P(Bₖ) / P(A)
Burada P(A), toplam olasılık teoremiyle hesaplanır. Bayes Teoremi, sonuçtan nedene gitme mantığıyla çalışır.
Örnek (Devam): Yukarıdaki fabrika örneğinde, rastgele seçilen bir ürünün kusurlu olduğu görülmüştür. Bu ürünün III. makineden gelmiş olma olasılığı nedir?
Çözüm: Bayes Teoremi'nden: P(B₃|A) = P(A|B₃) · P(B₃) / P(A) = (0.05)(0.20) / 0.029 = 0.01 / 0.029 ≈ 0.3448. Kusurlu ürünün III. makineden gelmiş olma olasılığı yaklaşık %34,5'tur. Dikkat edin: III. makine üretimin sadece %20'sini karşılamasına rağmen, yüksek kusur oranı nedeniyle kusurlu ürünün bu makineden gelmiş olma olasılığı %34,5'e çıkmıştır.
Ağaç Diyagramı ile Koşullu Olasılık
Koşullu olasılık problemlerini çözerken ağaç diyagramı çizmek son derece faydalıdır. Ağaç diyagramı, olayların ardışık olarak gerçekleşme sürecini görselleştirir ve tüm olası sonuçları sistematik bir şekilde görmemizi sağlar.
Ağaç diyagramı çizerken şu adımları izleriz: İlk olarak başlangıç noktasından ilk olayın olası sonuçlarına dallar çizeriz ve her dalın üzerine ilgili olasılığı yazarız. Sonra her daldan ikinci olayın olası sonuçlarına yeni dallar çizeriz; bu dalların üzerine koşullu olasılıkları yazarız. Bir yolun sonundaki olasılığı bulmak için o yol üzerindeki tüm olasılıkları çarparız. Aynı sonuca ulaşan farklı yolların olasılıklarını toplarız.
Örnek: Bir kutuda 4 beyaz ve 6 siyah top var. Kutundan iade etmeden iki top çekiliyor. İkinci topun beyaz olma olasılığını ağaç diyagramı yardımıyla bulunuz.
Çözüm: Birinci çekim dalları: Beyaz (4/10) ve Siyah (6/10). Eğer birincisi beyaz ise ikinci çekim: Beyaz (3/9), Siyah (6/9). Eğer birincisi siyah ise ikinci çekim: Beyaz (4/9), Siyah (5/9). İkinci topun beyaz olma olasılığı = P(BB) + P(SB) = (4/10)(3/9) + (6/10)(4/9) = 12/90 + 24/90 = 36/90 = 2/5. Sonuç olarak ikinci topun beyaz gelme olasılığı 2/5'tir.
Koşullu Olasılık ve Tablo Kullanımı
Koşullu olasılık sorularında veriler bazen iki yönlü tablolar hâlinde sunulur. Bu tablolarda satırlar bir değişkeni, sütunlar diğer değişkeni temsil eder. Tablonun kenar toplamları ve genel toplamı kullanılarak koşullu olasılıklar kolayca hesaplanabilir.
Örnek: Bir sınıftaki 100 öğrenciye ait veriler aşağıda verilmiştir. Erkeklerin sayısı 60, kızların sayısı 40'tır. Erkeklerden 45'i sınavı geçmiş, 15'i kalmıştır. Kızlardan 30'u sınavı geçmiş, 10'u kalmıştır. Rastgele seçilen bir öğrencinin sınavı geçtiği bilindiğine göre, bu öğrencinin erkek olma olasılığı nedir?
Çözüm: A: Erkek, B: Sınavı geçmiş. Sınavı geçen toplam öğrenci = 45 + 30 = 75. P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = (45/100) / (75/100) = 45/75 = 3/5. Seçilen öğrencinin erkek olma olasılığı 3/5'tir.
Venn Şeması ile Koşullu Olasılık
Venn şeması, iki veya daha fazla olayın kesişim ve birleşim ilişkilerini görselleştirmek için kullanılır. Koşullu olasılık hesaplarken Venn şeması çizmek, özellikle verilerin karmaşık olduğu durumlarda oldukça faydalıdır. Venn şemasında dikkat edilmesi gereken nokta, koşullu olasılıkta örneklem uzayının koşul olayına (B) daraltılmasıdır. Bu nedenle P(A|B) hesaplanırken sadece B dairesinin içindeki bölgeye odaklanırız.
Koşullu Olasılıkta Sık Yapılan Hatalar
11. Sınıf Matematik Koşullu Olasılık konusunda öğrencilerin en sık yaptığı hatalar şunlardır:
- P(A|B) ile P(B|A) karıştırma: Bu iki ifade genellikle farklı değerler verir. Soruyu dikkatlice okuyarak hangi olayın koşul, hangi olayın hedef olduğunu belirlemek gerekir.
- Bağımsızlık varsayımı: Olayların bağımsız olup olmadığını kontrol etmeden P(A ∩ B) = P(A) · P(B) formülünü uygulamak yanlış sonuç verir. Eğer olaylar bağımlıysa çarpım kuralı kullanılmalıdır.
- Koşulun örneklem uzayını değiştirdiğini unutmak: Koşullu olasılıkta yeni örneklem uzayı koşul olayıdır. Tüm örneklem uzayı üzerinden hesap yapmak hatalı sonuç verir.
- İadesiz çekimde olasılıkları güncellememek: İadesiz çekimlerde her adımda kalan eleman sayısı değişir, bu durum dikkate alınmalıdır.
Koşullu Olasılığın Günlük Hayattaki Uygulamaları
Koşullu olasılık sadece matematik derslerinde karşımıza çıkan soyut bir kavram değildir. Günlük hayatın birçok alanında aktif olarak kullanılır:
- Tıp: Bir hastalık testinin pozitif çıkması durumunda kişinin gerçekten hasta olma olasılığı Bayes Teoremi ile hesaplanır. Bu kavrama "pozitif tahmin değeri" denir ve tıbbi karar verme sürecinde kritik öneme sahiptir.
- Hukuk: Delillerin suçlu olma olasılığını nasıl etkilediği koşullu olasılıkla değerlendirilir.
- Yapay Zekâ ve Makine Öğrenmesi: Spam filtreler, öneri sistemleri ve doğal dil işleme gibi birçok yapay zekâ uygulaması Bayes Teoremi'ne dayanır.
- Sigortacılık: Risk değerlendirmesi ve prim hesaplama süreçlerinde koşullu olasılıklar kullanılır.
- Meteoroloji: Belirli atmosferik koşullar altında yağış olma olasılığı koşullu olasılık ile modellenir.
Ek Çözümlü Örnekler
Örnek 1: İki zar aynı anda atılıyor. Zarların toplamının 8 olduğu bilindiğine göre, zarlardan en az birinin 5 gelme olasılığı nedir?
Çözüm: B: Toplam 8 olması. B = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} → 5 eleman. A: En az bir zarın 5 gelmesi. A ∩ B = {(3,5), (5,3)} → 2 eleman. P(A|B) = 2/5.
Örnek 2: Bir sınıfta öğrencilerin %60'ı kız, %40'ı erkektir. Kızların %80'i, erkeklerin %70'i bir sınavı geçmiştir. Sınavı geçen bir öğrencinin kız olma olasılığı nedir?
Çözüm: K: Kız, E: Erkek, G: Sınavı geçmiş. P(K) = 0.60, P(E) = 0.40, P(G|K) = 0.80, P(G|E) = 0.70. Toplam olasılık: P(G) = P(G|K)·P(K) + P(G|E)·P(E) = (0.80)(0.60) + (0.70)(0.40) = 0.48 + 0.28 = 0.76. Bayes: P(K|G) = P(G|K)·P(K) / P(G) = 0.48 / 0.76 = 48/76 = 12/19 ≈ 0.6316. Sınavı geçen öğrencinin kız olma olasılığı 12/19'dur.
Örnek 3: 1'den 20'ye kadar numaralı kartlardan rastgele biri çekilir. Çekilen kartın tek sayı olduğu bilindiğine göre, 7'den büyük olma olasılığı nedir?
Çözüm: B: Tek sayı = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} → 10 eleman. A: 7'den büyük. A ∩ B = {9, 11, 13, 15, 17, 19} → 6 eleman. P(A|B) = 6/10 = 3/5.
Örnek 4: Bir aile iki çocuk sahibidir. Çocuklardan en az birinin kız olduğu bilindiğine göre, her ikisinin de kız olma olasılığı nedir? (Kız ve erkek doğma olasılıkları eşit kabul edilsin.)
Çözüm: İki çocuk için olası durumlar: {KK, KE, EK, EE}. B: En az bir kız = {KK, KE, EK}. A: Her ikisi kız = {KK}. P(A|B) = 1/3.
Örnek 5: Bir torbada 3 kırmızı, 4 mavi ve 5 yeşil bilye vardır. Torbadan iade etmeden art arda iki bilye çekilir. İlk bilyenin kırmızı olduğu bilindiğine göre, ikinci bilyenin yeşil olma olasılığı nedir?
Çözüm: İlk bilye kırmızı çekildiğinde torbada 2 kırmızı, 4 mavi, 5 yeşil = 11 bilye kalır. P(İkinci yeşil | İlk kırmızı) = 5/11.
Özet ve Anahtar Noktalar
11. Sınıf Matematik Koşullu Olasılık konusunu özetleyecek olursak: Koşullu olasılık, bir olayın başka bir olay gerçekleştikten sonraki olasılığını ifade eder. Temel formülü P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)'dir. Çarpım kuralı, toplam olasılık teoremi ve Bayes Teoremi bu formülün farklı uygulamalarıdır. Bağımsız olaylarda koşul olasılığı değiştirmezken, bağımlı olaylarda değiştirir. Problem çözerken ağaç diyagramı ve Venn şeması gibi görsel araçlar kullanmak büyük kolaylık sağlar. Bu konuyu iyi öğrenmek hem üniversite sınavında hem de ilerideki meslek hayatınızda size önemli avantajlar sağlayacaktır.
Örnek Sorular
11. Sınıf Matematik Koşullu Olasılık Çözümlü Sorular
Aşağıda 11. Sınıf Matematik Koşullu Olasılık konusuna ait 10 adet çözümlü soru bulunmaktadır. Soruların 7 tanesi çoktan seçmeli, 3 tanesi açık uçludur.
Soru 1 (Çoktan Seçmeli)
Bir zar atılıyor. Gelen sayının 3'ten büyük olduğu bilindiğine göre, çift sayı gelme olasılığı kaçtır?
A) 1/3 B) 1/2 C) 2/3 D) 1/6 E) 5/6
Çözüm: B: 3'ten büyük = {4, 5, 6}. A: Çift sayı = {2, 4, 6}. A ∩ B = {4, 6}. P(A|B) = n(A ∩ B) / n(B) = 2/3.
Cevap: C) 2/3
Soru 2 (Çoktan Seçmeli)
Bir torbada 6 kırmızı ve 4 beyaz top vardır. Torbadan iade etmeden art arda 2 top çekiliyor. İlk topun kırmızı olduğu bilindiğine göre, ikinci topun da kırmızı olma olasılığı kaçtır?
A) 3/5 B) 5/9 C) 1/3 D) 2/5 E) 1/2
Çözüm: İlk top kırmızı çekildiğinde torbada 5 kırmızı ve 4 beyaz top kalır (toplam 9). P(2. kırmızı | 1. kırmızı) = 5/9.
Cevap: B) 5/9
Soru 3 (Çoktan Seçmeli)
İki zar atılıyor. Zarların toplamının 9 olduğu bilindiğine göre, zarlardan birinin 6 gelme olasılığı kaçtır?
A) 1/4 B) 1/2 C) 1/3 D) 2/3 E) 1/6
Çözüm: Toplamı 9 olan ikililer: {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} → 4 eleman. En az bir zarın 6 olduğu ikililer: {(3,6), (6,3)} → 2 eleman. P = 2/4 = 1/2.
Cevap: B) 1/2
Soru 4 (Çoktan Seçmeli)
Bir sınıftaki öğrencilerin %40'ı basketbol, %30'u voleybol oynamaktadır. %10'u ise her iki sporu da yapmaktadır. Basketbol oynadığı bilinen bir öğrencinin voleybol da oynama olasılığı kaçtır?
A) 1/3 B) 1/4 C) 3/10 D) 2/5 E) 1/2
Çözüm: P(B) = 0.40, P(V) = 0.30, P(B ∩ V) = 0.10. P(V|B) = P(B ∩ V) / P(B) = 0.10 / 0.40 = 1/4.
Cevap: B) 1/4
Soru 5 (Çoktan Seçmeli)
Bir kutuda 5 arızalı ve 15 sağlam ampul vardır. Kutudan rastgele art arda iade etmeden 2 ampul çekiliyor. Her iki ampulün de arızalı olma olasılığı kaçtır?
A) 1/19 B) 1/16 C) 5/76 D) 1/4 E) 1/20
Çözüm: P(1. arızalı) = 5/20 = 1/4. P(2. arızalı | 1. arızalı) = 4/19. P(her ikisi arızalı) = (1/4)(4/19) = 4/76 = 1/19.
Cevap: A) 1/19
Soru 6 (Çoktan Seçmeli)
P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 ve P(A ∪ B) = 0.7 olduğuna göre P(A|B) değeri kaçtır?
A) 1/4 B) 1/2 C) 3/4 D) 2/5 E) 3/8
Çözüm: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) → 0.7 = 0.5 + 0.4 − P(A ∩ B) → P(A ∩ B) = 0.2. P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.2 / 0.4 = 1/2.
Cevap: B) 1/2
Soru 7 (Çoktan Seçmeli)
Bir hastane testinde, gerçekten hasta olan kişilerin %95'inde test pozitif çıkmaktadır. Sağlıklı kişilerin %3'ünde ise test yanlışlıkla pozitif çıkmaktadır. Toplumun %1'i bu hastalığa sahiptir. Testi pozitif çıkan bir kişinin gerçekten hasta olma olasılığı yaklaşık kaçtır?
A) 0.24 B) 0.32 C) 0.50 D) 0.95 E) 0.76
Çözüm: H: Hasta, T+: Test pozitif. P(H) = 0.01, P(H') = 0.99. P(T+|H) = 0.95, P(T+|H') = 0.03. Toplam olasılık: P(T+) = (0.95)(0.01) + (0.03)(0.99) = 0.0095 + 0.0297 = 0.0392. Bayes: P(H|T+) = (0.95)(0.01) / 0.0392 = 0.0095 / 0.0392 ≈ 0.2423 ≈ 0.24.
Cevap: A) 0.24
Soru 8 (Açık Uçlu)
1'den 30'a kadar numaralı kartlardan biri rastgele seçiliyor. Seçilen kartın 5'in katı olduğu bilindiğine göre, 10'dan büyük olma olasılığını bulunuz.
Çözüm: B: 5'in katı = {5, 10, 15, 20, 25, 30} → 6 eleman. A: 10'dan büyük. A ∩ B = {15, 20, 25, 30} → 4 eleman. P(A|B) = 4/6 = 2/3. Seçilen kartın 10'dan büyük olma olasılığı 2/3'tür.
Soru 9 (Açık Uçlu)
Üç madeni para aynı anda atılıyor. En az iki tura geldiği bilindiğine göre, üçünün de tura gelme olasılığını bulunuz.
Çözüm: Örneklem uzayı: {TTT, TTY, TYT, TYY, YTT, YTY, YYT, YYY} → 8 eleman. B: En az iki tura = {TTT, TTY, TYT, YTT} → 4 eleman. A: Üçü tura = {TTT} → 1 eleman. A ∩ B = {TTT} → 1 eleman. P(A|B) = 1/4. Üçünün de tura gelme olasılığı 1/4'tür.
Soru 10 (Açık Uçlu)
Bir okulda öğrencilerin %55'i erkek, %45'i kızdır. Erkek öğrencilerin %30'u, kız öğrencilerin %20'si gözlük takmaktadır. Rastgele seçilen bir öğrencinin gözlük taktığı görülmüştür. Bu öğrencinin erkek olma olasılığını Bayes Teoremi ile bulunuz.
Çözüm: E: Erkek, K: Kız, G: Gözlük takıyor. P(E) = 0.55, P(K) = 0.45, P(G|E) = 0.30, P(G|K) = 0.20. Toplam olasılık: P(G) = P(G|E)·P(E) + P(G|K)·P(K) = (0.30)(0.55) + (0.20)(0.45) = 0.165 + 0.09 = 0.255. Bayes: P(E|G) = P(G|E)·P(E) / P(G) = 0.165 / 0.255 = 165/255 = 11/17 ≈ 0.647. Gözlük takan öğrencinin erkek olma olasılığı 11/17'dir.
Çalışma Kağıdı
11. Sınıf Matematik — Koşullu Olasılık Çalışma Kâğıdı
Ad Soyad: ______________________ Sınıf / No: ______ Tarih: __ / __ / ____
Etkinlik 1: Kavram Kontrolü — Boşluk Doldurma
Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun ifadelerle doldurunuz.
1. B olayı gerçekleştiğinde A olayının gerçekleşme olasılığına ______________________ denir ve __________ şeklinde gösterilir.
2. Koşullu olasılık formülü: P(A|B) = __________ / __________ (__________ > 0)
3. İki olay bağımsız ise P(A|B) = __________ olur.
4. Çarpım kuralına göre P(A ∩ B) = P(A|B) · __________
5. Koşullu olasılığı tersine çevirmemizi sağlayan teoreme ______________________ denir.
6. Toplam olasılık teoremine göre P(A) = P(A|B₁)·P(B₁) + P(A|B₂)·__________ + … + P(A|Bₙ)·__________
Etkinlik 2: Doğru / Yanlış
Aşağıdaki ifadelerin doğru mu yanlış mı olduğunu belirleyiniz. Yanlış ise doğrusunu yazınız.
1. ( ) P(A|B) her zaman P(B|A)'ya eşittir.
2. ( ) P(A|B) = P(A) ise A ve B bağımsız olaylardır.
3. ( ) İadesiz çekimde çekimler birbirinden bağımsızdır.
4. ( ) Koşullu olasılık 0 ile 1 arasında değer alır.
5. ( ) P(A ∩ B) = P(A) + P(B) her zaman geçerlidir.
Etkinlik 3: Tablo Yorumlama
Bir sınıftaki 80 öğrenciye ait anket sonuçları aşağıdaki tabloda verilmiştir.
| | Spor Yapıyor | Spor Yapmıyor | Toplam |
|-------------|:------------:|:-------------:|:------:|
| Kız | 20 | 15 | 35 |
| Erkek | 30 | 15 | 45 |
| Toplam | 50 | 30 | 80 |
Bu tabloya göre aşağıdaki soruları cevaplayınız:
a) Rastgele seçilen bir öğrencinin spor yaptığı bilindiğine göre, kız olma olasılığı nedir?
Çözüm alanı: _______________________________________________
b) Seçilen öğrencinin erkek olduğu bilindiğine göre, spor yapmama olasılığı nedir?
Çözüm alanı: _______________________________________________
c) Spor yapma ve cinsiyet bağımsız olaylar mıdır? Hesaplayarak gösteriniz.
Çözüm alanı: _______________________________________________
Etkinlik 4: Ağaç Diyagramı Çizimi
Bir kutuda 3 kırmızı ve 2 mavi top vardır. Kutudan iade etmeden art arda 2 top çekilmektedir.
a) Aşağıdaki boş alana ağaç diyagramını çiziniz. Her dalın üzerine olasılık değerini yazınız.
b) İlk topun kırmızı, ikinci topun mavi olma olasılığını bulunuz.
Çözüm alanı: _______________________________________________
c) İkinci topun mavi olma olasılığını (ilk top ne olursa olsun) toplam olasılık teoremini kullanarak bulunuz.
Çözüm alanı: _______________________________________________
d) İkinci topun mavi olduğu bilindiğine göre, ilk topun kırmızı olma olasılığını Bayes Teoremi ile bulunuz.
Çözüm alanı: _______________________________________________
Etkinlik 5: Problem Çözme
Problem 1: P(A) = 0.4, P(B) = 0.5 ve P(A ∩ B) = 0.2 olduğuna göre;
a) P(A|B) = ?
Çözüm: _______________________________________________
b) P(B|A) = ?
Çözüm: _______________________________________________
c) A ve B bağımsız mıdır? Neden?
Çözüm: _______________________________________________
Problem 2: Bir mağazada müşterilerin %60'ı kadın, %40'ı erkektir. Kadınların %50'si, erkeklerin %30'u alışveriş yapmaktadır. Alışveriş yapan bir müşterinin kadın olma olasılığını bulunuz.
Çözüm: _______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
Problem 3: İki zar atılıyor. Zarların toplamının 6'dan büyük olduğu bilindiğine göre, her iki zarın da aynı sayıyı gösterme olasılığını bulunuz.
Çözüm: _______________________________________________
_______________________________________________
Problem 4: 1'den 50'ye kadar numaralı kartlardan biri seçiliyor. Seçilen kartın 7'nin katı olduğu bilindiğine göre, tek sayı olma olasılığını bulunuz.
Çözüm: _______________________________________________
_______________________________________________
Etkinlik 6: Eşleştirme
Sol sütundaki ifadeleri sağ sütundaki formüllerle eşleştiriniz.
1. Koşullu olasılık ( ) P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
2. Çarpım kuralı ( ) P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
3. Bağımsız olaylar ( ) P(Bₖ|A) = P(A|Bₖ)·P(Bₖ) / P(A)
4. Bayes Teoremi ( ) P(A∩B) = P(A|B) · P(B)
Etkinlik 7: Günlük Hayat Uygulaması
Bir üniversite hastanesinde yapılan tarama testine göre gerçekten hasta olanların %98'inde test pozitif çıkarken, sağlıklı kişilerin %4'ünde test yanlış pozitif çıkmaktadır. Toplumda bu hastalığın görülme oranı %5'tir.
a) Toplam olasılık teoremini kullanarak testin pozitif çıkma olasılığını bulunuz.
Çözüm: _______________________________________________
_______________________________________________
b) Bayes Teoremi ile testi pozitif çıkan birinin gerçekten hasta olma olasılığını bulunuz.
Çözüm: _______________________________________________
_______________________________________________
c) Sonucu yorumlayınız. Testi pozitif çıkan herkes gerçekten hasta mıdır?
Yorum: _______________________________________________
_______________________________________________
— Çalışma Kâğıdı Sonu — Başarılar! —
Sıkça Sorulan Sorular
11. Sınıf Matematik müfredatı 2025-2026 yılında kaç ünite?
2025-2026 müfredatına göre 11. sınıf matematik dersi birden fazla üniteden oluşmaktadır. Sayfadaki ünite listesinden güncel bilgiye ulaşabilirsiniz.
11. sınıf koşullu olasılık konuları hangi dönemlerde işleniyor?
11. sınıf matematik dersi konuları 1. dönem ve 2. dönem olarak iki yarıyılda işlenmektedir. Her ünitenin tahmini süre bilgisi Millî Eğitim Bakanlığı'nın haftalık ders planlarında yer almaktadır.
11. sınıf matematik müfredatı ne zaman güncellendi?
Gösterilen içerik 2025-2026 eğitim-öğretim yılı için güncellenmiştir. Millî Eğitim Bakanlığı'nın resmi sitesinde yayımlanan müfredat dokümanları esas alınmıştır.