📌 Konu

Uzanım, Genlik ve Denge Noktası

Harmonik harekette uzanım, genlik ve denge noktası.

Konu Anlatımı

12. Sınıf Fizik – Uzanım, Genlik ve Denge Noktası Konu Anlatımı

Basit harmonik hareket (BHH), fizik biliminin en temel periyodik hareket türlerinden biridir. Doğada ve günlük hayatımızda pek çok yerde karşılaştığımız bu hareket türünü anlayabilmek için öncelikle üç kritik kavramı çok iyi bilmemiz gerekir: uzanım, genlik ve denge noktası. Bu konu anlatımında 12. Sınıf Fizik Uzanım, Genlik ve Denge Noktası kavramlarını tüm detaylarıyla, örneklerle ve formüllerle ele alacağız.

1. Basit Harmonik Hareket Nedir?

Basit harmonik hareket, bir cismin denge konumu etrafında düzenli olarak ileri-geri (veya yukarı-aşağı) tekrarlayan hareketine denir. Bu harekette cisim denge noktasından uzaklaştığında, onu geri çekmeye çalışan bir kuvvet ortaya çıkar. Bu kuvvete geri çağırıcı kuvvet denir ve büyüklüğü cismin denge noktasından uzaklığıyla doğru orantılıdır. Matematiksel olarak bu durum şu şekilde ifade edilir:

F = -k · x

Burada F geri çağırıcı kuvveti, k yay sabitini (veya geri çağırıcı kuvvet sabitini), x ise cismin denge noktasından olan uzaklığını yani uzanımı temsil eder. Eksi işareti, kuvvetin her zaman uzanımın tersi yönünde olduğunu gösterir; yani cismi daima denge noktasına geri döndürmeye çalışır.

Basit harmonik hareketin en bilinen örnekleri arasında yaya bağlı cismin hareketi, sarkacın küçük açılarla salınımı, U borusundaki sıvının salınımı ve ses dalgalarındaki titreşimler sayılabilir. Tüm bu hareketlerde ortak olan şey, cismin bir denge konumu etrafında periyodik olarak hareket etmesi ve bu hareketi tanımlamak için uzanım, genlik ve denge noktası kavramlarına ihtiyaç duyulmasıdır.

2. Denge Noktası Kavramı

Denge noktası, basit harmonik hareket yapan bir cismin net kuvvetin sıfır olduğu, yani üzerine herhangi bir geri çağırıcı kuvvet etki etmediği konumdur. Cisim bu noktada bulunduğunda herhangi bir kuvvet etkisi altında değildir ve eğer dışarıdan bir etki olmazsa bu konumda hareketsiz kalır. Ancak cisim hareket halindeyken denge noktasından geçerken hızı en büyük değerine ulaşır.

Denge noktasını daha iyi anlamak için birkaç örneğe bakalım:

Yatay yay-kütle sistemi: Sürtünmesiz bir yüzey üzerinde yaya bağlı bir cisim düşünelim. Yay doğal uzunluğundayken cismin bulunduğu konum denge noktasıdır. Cisim bu noktadan sağa veya sola çekildiğinde yay onu tekrar bu noktaya doğru çekmeye çalışır.
Düşey yay-kütle sistemi: Bir yaya asılan bir cisim düşünelim. Burada denge noktası, yayın doğal uzunluğundaki konumu değildir. Cisim yaya asıldığında yay bir miktar uzar ve cisim dengeye gelir. İşte bu uzamış konum denge noktasıdır; çünkü bu noktada yayın elastik kuvveti ile cismin ağırlığı birbirine eşit ve zıt yöndedir, dolayısıyla net kuvvet sıfırdır.
Basit sarkaç: İpe bağlı bir cismin (sarkacın) denge noktası, cismin tam dik olarak asılı kaldığı en alt noktadır. Cisim bu noktadan sağa veya sola çekildiğinde yerçekiminin bileşeni onu tekrar bu noktaya doğru yönlendirir.

Denge noktasının fiziksel önemi büyüktür. Basit harmonik harekette cismin kinetik enerjisi denge noktasında en büyük, potansiyel enerjisi ise en küçük değerindedir. Bu durum enerji korunumu ile doğrudan ilişkilidir ve konunun ilerleyen kısımlarında enerji dönüşümleri bağlamında tekrar karşımıza çıkacaktır.

3. Uzanım (Yer Değiştirme) Kavramı

Uzanım, basit harmonik hareket yapan bir cismin herhangi bir andaki konumunun denge noktasına olan uzaklığıdır. Uzanım genellikle x harfi ile gösterilir ve bir vektörel büyüklüktür; yani hem büyüklüğü hem de yönü vardır. Denge noktasının bir tarafındaki uzanımlar pozitif, diğer tarafındaki uzanımlar negatif olarak kabul edilir.

Uzanımın matematiksel ifadesi zamanın bir fonksiyonu olarak şu şekilde yazılır:

x(t) = A · sin(ωt + φ)

Bu denklemde:

x(t): t anındaki uzanım değeridir (metre cinsinden).
A: Genlik, yani maksimum uzanım değeridir (metre cinsinden).
ω (omega): Açısal frekans olup ω = 2π/T = 2πf şeklinde hesaplanır (rad/s cinsinden).
t: Zaman değişkenidir (saniye cinsinden).
φ (fi): Başlangıç faz açısıdır (radyan cinsinden). Cismin t = 0 anındaki konumuna göre belirlenir.

Uzanımın bazı önemli özellikleri şunlardır:

Uzanım sürekli değişen bir büyüklüktür. Cisim hareket ederken uzanım değeri her an farklıdır. Denge noktasında uzanım sıfırdır (x = 0). Cisim uç noktalara ulaştığında uzanım en büyük değerine, yani genliğe eşit olur (x = +A veya x = -A). Uzanımın işareti, cismin denge noktasının hangi tarafında olduğunu gösterir.

Uzanım kavramını günlük hayattan bir örnekle daha iyi anlayabiliriz: Bir salıncakta sallanan bir çocuğu düşünelim. Salıncağın en alt noktası denge noktasıdır. Çocuk salıncakla sağa veya sola doğru sallandığında, herhangi bir andaki konumunun en alt noktaya olan mesafesi uzanımı verir. Çocuk en yükseğe çıktığında uzanım en büyük değerindedir ve buna genlik denir.

4. Genlik Kavramı

Genlik, basit harmonik hareket yapan bir cismin denge noktasından ulaşabileceği en büyük uzanım değeridir. Genlik A harfi ile gösterilir ve her zaman pozitif bir değerdir. SI birim sisteminde birimi metre (m)'dir.

Genlik, basit harmonik hareketin "büyüklüğünü" veya "şiddetini" belirleyen temel parametrelerden biridir. Genlik ne kadar büyükse, cisim denge noktasından o kadar uzağa gidip geliyor demektir ve hareketin toplam enerjisi de o kadar yüksektir.

Genliğin önemli özelliklerini şu şekilde sıralayabiliriz:

Genlik sabittir: İdeal bir basit harmonik harekette (sürtünme ve enerji kaybı olmayan durumda) genlik zamanla değişmez. Cisim her salınımda aynı en büyük uzanım değerine ulaşır.
Genlik enerjiyle ilişkilidir: Basit harmonik hareketin toplam mekanik enerjisi genliğin karesiyle doğru orantılıdır. E = ½kA² formülüyle hesaplanır. Genlik iki katına çıkarsa toplam enerji dört katına çıkar.
Genlik periyodu etkilemez: Basit harmonik harekette periyot (T) ve frekans (f), genlikten bağımsızdır. Bu özellik özellikle yay-kütle sistemi ve küçük açılı sarkaç için geçerlidir. Genliği artırmak veya azaltmak periyodu değiştirmez.
Genlik başlangıç koşullarına bağlıdır: Genlik, cismin ilk ne kadar çekildiğine veya itildiğine, yani başlangıçta sisteme verilen enerjiye bağlıdır.

Genliğin periyodu etkilememesi ilk bakışta şaşırtıcı gelebilir. Düşünün: Daha büyük genlikle hareket eden cisim daha uzun yol kat ediyor, ama aynı zamanda ortalama hızı da daha yüksek oluyor. Bu iki etki birbirini dengelediği için periyot değişmez. Bu, basit harmonik hareketin en güzel ve en önemli özelliklerinden biridir.

5. Uzanım, Genlik ve Denge Noktası Arasındaki İlişkiler

Bu üç kavram birbiriyle sıkı sıkıya bağlıdır ve birlikte basit harmonik hareketi tam olarak tanımlar. Aralarındaki ilişkileri ayrıntılı olarak inceleyelim.

Konum ilişkisi: Denge noktası referans noktasıdır (x = 0). Uzanım, cismin bu referans noktasından anlık uzaklığıdır. Genlik ise uzanımın alabileceği en büyük mutlak değerdir. Her zaman şu eşitsizlik geçerlidir: -A ≤ x ≤ +A.

Hız ilişkisi: Cismin hızı v = ω√(A² - x²) formülüyle hesaplanır. Denge noktasında (x = 0) hız maksimumdur: v_max = ωA. Uç noktalarda (x = ±A) ise hız sıfırdır; çünkü cisim bir an için durur ve yön değiştirir.

İvme ilişkisi: Cismin ivmesi a = -ω²x formülüyle hesaplanır. Denge noktasında (x = 0) ivme sıfırdır. Uç noktalarda (x = ±A) ivme büyüklük olarak maksimumdur: |a_max| = ω²A. İvme her zaman uzanımın tersi yönündedir; bu da geri çağırıcı kuvvetin bir sonucudur.

Kuvvet ilişkisi: Geri çağırıcı kuvvet F = -kx olduğundan, denge noktasında kuvvet sıfırdır. Uç noktalarda kuvvet en büyük değerindedir. Kuvvetin yönü her zaman denge noktasına doğrudur.

Enerji ilişkisi: Denge noktasında kinetik enerji maksimum, potansiyel enerji minimumdur. Uç noktalarda potansiyel enerji maksimum, kinetik enerji sıfırdır. Her noktada toplam mekanik enerji sabittir ve E = ½kA² değerine eşittir.

6. Uzanım-Zaman Grafiği ve Yorumlanması

Basit harmonik hareketin en önemli gösterimlerinden biri uzanım-zaman (x-t) grafiğidir. Bu grafik sinüzoidal bir eğri şeklindedir ve hareketin tüm özelliklerini okumamıza olanak tanır.

Uzanım-zaman grafiğinde yatay eksen zamanı (t), düşey eksen ise uzanımı (x) gösterir. Eğri, bir sinüs veya kosinüs fonksiyonu biçimindedir. Grafikten şu bilgiler okunabilir:

Genlik (A): Grafikte eğrinin düşey eksende ulaştığı en büyük ve en küçük değerler genliği verir. Eğri +A ile -A arasında salınım yapar.

Periyot (T): Eğrinin bir tam salınım tamamlaması için geçen süre, grafikten yatay eksende okunabilir. Aynı fazda ardışık iki noktanın zaman farkı periyoda eşittir.

Denge noktası: Grafikte x = 0 çizgisi denge noktasını temsil eder. Eğri bu çizgiyi her yarım periyotta bir keser.

Anlık uzanım: Herhangi bir t anına karşılık gelen x değeri, o andaki uzanımı verir.

Hız bilgisi: Grafiğin herhangi bir noktasındaki eğim (teğetin eğimi) o andaki hızı verir. Eğri x = 0 çizgisini keserken eğim (ve dolayısıyla hız) en büyüktür. Eğri tepe veya çukur noktalarındayken (x = ±A) eğim sıfırdır, yani hız sıfırdır.

Bu grafikleri okuyabilmek ve yorumlayabilmek, 12. Sınıf Fizik sınavlarında sıkça karşılaşılan soru tiplerinde başarılı olmanız için çok önemlidir.

7. Hız ve İvmenin Uzanımla İlişkisi – Detaylı İnceleme

Basit harmonik harekette hız ve ivme, uzanımla doğrudan ilişkilidir. Bu ilişkileri formüllerle ve fiziksel anlamlarıyla birlikte inceleyelim.

Hız denklemi: v(t) = Aω · cos(ωt + φ) veya konum cinsinden v = ±ω√(A² - x²). Bu formül bize herhangi bir uzanım değerinde cismin hızını hesaplama imkânı verir. Dikkat edilmesi gereken nokta, hızın uzanım ile arasında doğrusal değil, karekök içeren bir ilişki olduğudur. x = 0 iken v = ±ωA (maksimum hız), x = ±A iken v = 0 olur.

İvme denklemi: a(t) = -Aω² · sin(ωt + φ) veya konum cinsinden a = -ω²x. İvme ile uzanım arasında doğrusal bir ilişki vardır ve bu ikisi her zaman zıt yöndedir. Bu, basit harmonik hareketin tanımlayıcı özelliğidir. Eğer bir hareketin ivmesi yer değiştirme ile doğru orantılı ve zıt yönde ise, o hareket basit harmonik harekettir.

Bu ilişkileri bir tablo ile özetleyelim:

Denge noktasında (x = 0): Uzanım = 0, Hız = maksimum (±ωA), İvme = 0, Kuvvet = 0, Kinetik Enerji = maksimum, Potansiyel Enerji = 0.

Uç noktalarda (x = ±A): Uzanım = ±A (maksimum), Hız = 0, İvme = ∓ω²A (maksimum büyüklük), Kuvvet = ∓kA (maksimum büyüklük), Kinetik Enerji = 0, Potansiyel Enerji = maksimum.

Bu tablo basit harmonik hareketin her aşamasında fiziksel büyüklüklerin nasıl değiştiğini çok net bir şekilde ortaya koymaktadır.

8. Enerji ve Genlik İlişkisi

Basit harmonik harekette enerji kavramı, genlik ile doğrudan bağlantılıdır. Toplam mekanik enerji şu formülle verilir:

E = ½kA²

Bu formüle göre toplam enerji, genliğin karesiyle doğru orantılıdır. Genlik iki katına çıktığında enerji dört katına çıkar. Bu, sistemin enerjisinin başlangıç koşulları tarafından belirlendiği anlamına gelir; bir yayı daha fazla gererseniz veya sıkıştırırsanız sisteme daha fazla enerji vermiş olursunuz.

Herhangi bir x uzanımında kinetik ve potansiyel enerji şu şekildedir:

Potansiyel enerji: Ep = ½kx²

Kinetik enerji: Ek = ½k(A² - x²)

Toplam enerji: E = Ep + Ek = ½kA² (sabit)

Bu denklemlerden görüldüğü gibi, cisim denge noktasından uzaklaştıkça potansiyel enerji artar, kinetik enerji azalır; denge noktasına yaklaştıkça ise kinetik enerji artar, potansiyel enerji azalır. Enerji sürekli bu iki form arasında dönüşüm yapar ancak toplam enerji her zaman sabit kalır.

9. Gerçek Hayat Uygulamaları

Uzanım, genlik ve denge noktası kavramları sadece fizik derslerinde değil, gerçek hayatta da pek çok yerde karşımıza çıkar.

Saatler: Mekanik saatlerdeki sarkaç veya kristal saatlerdeki kuvars kristalinin titreşimi basit harmonik harekete dayanır. Genlik sabit tutularak zaman hassas bir şekilde ölçülür.

Müzik aletleri: Gitar teli, piyano teli veya davul zarı titreştiğinde basit harmonik harekete yakın bir hareket yapar. Genlik sesin şiddetini, frekans ise sesin tonunu belirler.

Araç süspansiyonları: Arabaların amortisörleri yay-kütle sistemi mantığıyla çalışır. Yoldaki tümseklerin neden olduğu titreşimleri sönümleyerek yolculuğu konforlu hale getirir.

Deprem mühendisliği: Binaların deprem sırasındaki salınımları basit harmonik hareketle modellenir. Genlik değeri binanın ne kadar sallandığını gösterir ve yapısal dayanım hesaplamalarında kritik öneme sahiptir.

Elektronik devreler: LC devrelerinde akım ve gerilim basit harmonik hareket benzeri salınım yapar. Radyo ve televizyon alıcıları bu prensiple çalışır.

10. Sık Yapılan Hatalar ve Uyarılar

12. Sınıf Fizik Uzanım, Genlik ve Denge Noktası konusunda öğrencilerin sıkça yaptığı hatalar şunlardır:

Genlik ile uzanımı karıştırmak: Genlik sabit bir değerdir ve maksimum uzanımı ifade eder. Uzanım ise zamanla değişen anlık bir değerdir. Her uzanım değeri genliğe eşit değildir.

Denge noktasında hızın sıfır olduğunu düşünmek: Tam tersi doğrudur. Denge noktasında hız maksimumdur, uç noktalarda hız sıfırdır. Bu çok sık yapılan bir karıştırmadır.

Genliğin periyodu etkilediğini sanmak: Yay-kütle sisteminde periyot T = 2π√(m/k) formülüyle bulunur ve genlikten bağımsızdır. Genliği değiştirmek periyodu değiştirmez.

İvme ile hızın aynı anda maksimum olduğunu düşünmek: Hız denge noktasında maksimumken ivme sıfırdır; ivme uç noktalarda maksimumken hız sıfırdır. Bu ikisi ters fazda değişir.

Enerji formüllerinde genlik yerine uzanım kullanmak: Toplam enerji formülünde E = ½kA² daima genlik kullanılır. Uzanım kullanılırsa yalnızca o andaki potansiyel enerji bulunur, toplam enerji değil.

11. Özet ve Temel Formüller

Bu konu anlatımında 12. Sınıf Fizik Uzanım, Genlik ve Denge Noktası kavramlarını ayrıntılı olarak ele aldık. Özetleyelim:

Denge noktası: Net kuvvetin sıfır olduğu konum; referans noktası (x = 0).

Uzanım (x): Cismin denge noktasından anlık uzaklığı; x(t) = A sin(ωt + φ).

Genlik (A): Maksimum uzanım değeri; her zaman pozitif; enerji ile ilişkili: E = ½kA².

Temel formüller:

Uzanım: x(t) = A · sin(ωt + φ)
Hız: v(t) = Aω · cos(ωt + φ) veya v = ±ω√(A² - x²)
Maksimum hız: v_max = ωA (denge noktasında)
İvme: a = -ω²x
Maksimum ivme: |a_max| = ω²A (uç noktalarda)
Toplam enerji: E = ½kA²
Kinetik enerji: Ek = ½k(A² - x²)
Potansiyel enerji: Ep = ½kx²
Periyot (yay-kütle): T = 2π√(m/k)
Açısal frekans: ω = 2π/T = 2πf

Bu kavramları ve formülleri iyi öğrenmeniz, basit harmonik hareket ünitesinin diğer konularını (periyot, frekans, enerji dönüşümleri, sönümlü titreşimler vb.) anlamanız için sağlam bir temel oluşturacaktır. Düzenli tekrar ve bol soru çözmek bu konuda başarı sağlamanın en etkili yoludur.

Örnek Sorular

12. Sınıf Fizik – Uzanım, Genlik ve Denge Noktası Çözümlü Sorular

Aşağıda 12. Sınıf Fizik Uzanım, Genlik ve Denge Noktası konusuna ait 10 adet çözümlü soru bulunmaktadır. Soruların 7 tanesi çoktan seçmeli, 3 tanesi açık uçludur.

Soru 1 (Çoktan Seçmeli)

Yatay sürtünmesiz bir düzlemde yaya bağlı 2 kg kütleli bir cisim basit harmonik hareket yapmaktadır. Yay sabiti k = 200 N/m ve genlik A = 0,1 m'dir. Cismin denge noktasındaki hızı kaç m/s'dir?

A) 0,5 B) 1,0 C) 1,5 D) 2,0 E) 2,5

Çözüm:

Denge noktasında hız maksimumdur. Önce açısal frekansı bulalım:

ω = √(k/m) = √(200/2) = √100 = 10 rad/s

Maksimum hız: v_max = ωA = 10 × 0,1 = 1,0 m/s

Cevap: B) 1,0

Soru 2 (Çoktan Seçmeli)

Basit harmonik hareket yapan bir cismin uzanımı x(t) = 0,04 · sin(5πt) metre olarak veriliyor. Buna göre cismin genliği ve periyodu sırasıyla nedir?

A) 0,04 m – 0,2 s B) 0,04 m – 0,4 s C) 0,4 m – 0,2 s D) 0,08 m – 0,4 s E) 0,04 m – 2,5 s

Çözüm:

x(t) = A · sin(ωt) formülüyle karşılaştırıldığında: A = 0,04 m ve ω = 5π rad/s.

Periyot: T = 2π/ω = 2π/(5π) = 2/5 = 0,4 s

Cevap: B) 0,04 m – 0,4 s

Soru 3 (Çoktan Seçmeli)

Basit harmonik hareket yapan bir cisim için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Denge noktasında hız maksimumdur.

B) Uç noktalarda ivme maksimumdur.

C) Genlik arttığında periyot da artar.

D) Denge noktasında net kuvvet sıfırdır.

E) Uzanım ile ivme zıt yönlüdür.

Çözüm:

A şıkkı doğrudur; denge noktasında v = v_max'tır. B şıkkı doğrudur; uç noktalarda a = ω²A maksimumdur. C şıkkı yanlıştır; yay-kütle sisteminde T = 2π√(m/k) olup genlikten bağımsızdır. D şıkkı doğrudur; x = 0 iken F = -kx = 0'dır. E şıkkı doğrudur; a = -ω²x ifadesindeki eksi işareti zıt yönü gösterir.

Cevap: C) Genlik arttığında periyot da artar.

Soru 4 (Çoktan Seçmeli)

Genliği 8 cm olan basit harmonik hareket yapan bir cismin uzanımı 4 cm iken hızı v'dir. Cismin denge noktasındaki hızı kaç v'dir?

A) (2√3)/3 · v B) √3 · v C) 2v D) (2√3/3) · v E) (2/√3) · v

Çözüm:

x = 4 cm iken: v = ω√(A² - x²) = ω√(64 - 16) = ω√48 = 4ω√3

Denge noktasında: v_max = ωA = 8ω

Oran: v_max / v = 8ω / (4ω√3) = 2/√3 = 2√3/3

v_max = (2√3/3) · v

Cevap: D) (2√3/3) · v

Soru 5 (Çoktan Seçmeli)

Bir yay-kütle sisteminde cismin toplam enerjisi 0,5 J ve yay sabiti 200 N/m'dir. Genlik kaç cm'dir?

A) 2,5 B) 5,0 C) 7,07 D) 10,0 E) 0,05

Çözüm:

E = ½kA² formülünden:

0,5 = ½ × 200 × A²

0,5 = 100A²

A² = 0,005

A = √0,005 ≈ 0,0707 m = 7,07 cm

Cevap: C) 7,07

Soru 6 (Çoktan Seçmeli)

Basit harmonik hareket yapan bir cismin uç noktalarından biri x = +10 cm, diğeri x = -10 cm'dir. Cismin uzanımı x = 5 cm iken potansiyel enerjisinin kinetik enerjisine oranı kaçtır?

A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 3/1 E) 1/1

Çözüm:

Genlik A = 10 cm. x = 5 cm iken:

Ep = ½kx² = ½k(25)

Ek = ½k(A² - x²) = ½k(100 - 25) = ½k(75)

Ep/Ek = 25/75 = 1/3

Cevap: B) 1/3

Soru 7 (Çoktan Seçmeli)

Basit harmonik hareket yapan bir cismin ivmesinin büyüklüğü en fazla hangi konumda olur?

A) Denge noktasında

B) Uzanımın genliğin yarısı olduğu noktada

C) Uç noktalarda

D) Hızın maksimum olduğu noktada

E) Kinetik enerjinin maksimum olduğu noktada

Çözüm:

a = -ω²x formülünden ivmenin büyüklüğü |a| = ω²|x| ile doğru orantılıdır. |x| en büyük olduğu yer uç noktalardır (x = ±A). Dolayısıyla ivme büyüklüğü uç noktalarda maksimumdur. D ve E şıkları denge noktasını ifade eder; orada ivme sıfırdır.

Cevap: C) Uç noktalarda

Soru 8 (Açık Uçlu)

Bir yay-kütle sisteminde cismin kütlesi 0,5 kg, yay sabiti 50 N/m ve genliği 0,2 m'dir. Cismin uzanımı 0,1 m iken hızını, ivmesini ve o andaki kinetik ve potansiyel enerjilerini hesaplayınız.

Çözüm:

Önce açısal frekans: ω = √(k/m) = √(50/0,5) = √100 = 10 rad/s

Hız: v = ω√(A² - x²) = 10 × √(0,04 - 0,01) = 10 × √0,03 = 10 × 0,1732 ≈ 1,73 m/s

İvme: a = -ω²x = -(10)² × 0,1 = -10 m/s² (büyüklüğü 10 m/s², denge noktasına doğru yönlü)

Potansiyel enerji: Ep = ½kx² = ½ × 50 × (0,1)² = 0,25 J

Kinetik enerji: Ek = ½k(A² - x²) = ½ × 50 × (0,04 - 0,01) = ½ × 50 × 0,03 = 0,75 J

Toplam enerji kontrolü: E = 0,25 + 0,75 = 1,0 J ve E = ½kA² = ½ × 50 × 0,04 = 1,0 J ✓

Soru 9 (Açık Uçlu)

Basit harmonik hareket yapan bir cismin uzanım-zaman grafiği çizildiğinde genlik, denge noktası ve periyot nasıl belirlenir? Her birini grafik üzerinde açıklayınız.

Çözüm:

Genlik: Uzanım-zaman grafiğinde eğrinin düşey eksende ulaştığı en büyük (tepe) ve en küçük (çukur) değerlerin mutlak değeri genliğe eşittir. Tepe değeri +A, çukur değeri -A'dır.

Denge noktası: Grafikte x = 0 yatay çizgisi denge noktasını temsil eder. Eğri bu çizgiyi her yarım periyotta keser. Eğrinin bu çizginin üstünde kalan kısmı pozitif uzanımları, altında kalan kısmı negatif uzanımları gösterir.

Periyot: Eğri üzerinde aynı fazda (aynı konum ve aynı hareket yönü) olan ardışık iki noktanın zaman farkı periyoda eşittir. Örneğin, ardışık iki tepe noktası veya ardışık iki çukur noktası arasındaki zaman farkı T'dir. Eğri x = 0'ı aynı yönde art arda kesiyorsa bu iki kesim noktası arasındaki süre de T'dir.

Soru 10 (Açık Uçlu)

Genliği A olan bir basit harmonik harekette cismin uzanımı A/2 olduğunda, toplam enerjinin yüzde kaçı kinetik enerji, yüzde kaçı potansiyel enerjidir? Genel bir çözüm yapınız.

Çözüm:

Toplam enerji: E = ½kA²

x = A/2 iken potansiyel enerji: Ep = ½k(A/2)² = ½k(A²/4) = kA²/8

Kinetik enerji: Ek = E - Ep = ½kA² - kA²/8 = 4kA²/8 - kA²/8 = 3kA²/8

Potansiyel enerjinin toplam enerjiye oranı: Ep/E = (kA²/8) / (kA²/2) = (1/8) × (2/1) = 1/4 = %25

Kinetik enerjinin toplam enerjiye oranı: Ek/E = (3kA²/8) / (kA²/2) = (3/8) × (2/1) = 3/4 = %75

Sonuç: x = A/2 uzanımında toplam enerjinin %75'i kinetik enerji, %25'i potansiyel enerji şeklindedir.

Sınav

12. Sınıf Fizik – Uzanım, Genlik ve Denge Noktası Test Sınavı

Aşağıda 12. Sınıf Fizik Uzanım, Genlik ve Denge Noktası konusuna ait 20 soruluk bir test sınavı bulunmaktadır. Her soru 5 seçeneklidir. Cevap anahtarı sayfanın sonundadır. Süre önerisi: 40 dakika.

Soru 1

Basit harmonik hareket yapan bir cismin denge noktası için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Hızın sıfır olduğu noktadır.
B) İvmenin maksimum olduğu noktadır.
C) Net kuvvetin sıfır olduğu noktadır.
D) Potansiyel enerjinin maksimum olduğu noktadır.
E) Uzanımın maksimum olduğu noktadır.

Soru 2

Genliği 10 cm olan basit harmonik harekette, cismin uzanımı 6 cm iken hızı v'dir. Cismin maksimum hızı kaç v'dir?

A) 5/4 B) 5/3 C) 4/3 D) 10/8 E) 2

Soru 3

Aşağıdakilerden hangisi basit harmonik harekette genlik ile ilgili yanlış bir ifadedir?

A) Her zaman pozitif bir değerdir.
B) Maksimum uzanıma eşittir.
C) SI birimi metredir.
D) Periyodu doğrudan etkiler.
E) Toplam enerji ile ilişkilidir.

Soru 4

x(t) = 0,05 · sin(4πt) metre olarak verilen hareketin genliği ve frekansı sırasıyla nedir?

A) 5 cm – 2 Hz B) 0,05 cm – 4 Hz C) 5 cm – 4π Hz D) 5 cm – 4 Hz E) 50 cm – 2 Hz

Soru 5

Basit harmonik hareket yapan bir cisim uç noktasındayken aşağıdaki büyüklüklerden hangisi sıfırdır?

A) Uzanım B) İvme C) Kuvvet D) Hız E) Potansiyel enerji

Soru 6

Yay sabiti 800 N/m olan bir yaya bağlı 2 kg kütleli cisim basit harmonik hareket yapıyor. Açısal frekansı kaç rad/s'dir?

A) 10 B) 20 C) 400 D) 40 E) 5

Soru 7

Genliği A olan basit harmonik harekette cismin uzanımı A/√2 olduğunda kinetik enerjisi, toplam enerjinin kaçta kaçıdır?

A) 1/4 B) 1/2 C) 3/4 D) 1/3 E) 2/3

Soru 8

Bir cismin ivmesi a = -16x şeklinde verilmiştir (SI birimleriyle). Bu cismin açısal frekansı kaç rad/s'dir?

A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 256

Soru 9

Basit harmonik harekette uzanım ile ivme arasındaki ilişki nasıldır?

A) Doğru orantılı ve aynı yönlü
B) Doğru orantılı ve zıt yönlü
C) Ters orantılı ve aynı yönlü
D) Ters orantılı ve zıt yönlü
E) Aralarında ilişki yoktur

Soru 10

Genliği 0,2 m ve açısal frekansı 5 rad/s olan BHH yapan cismin maksimum ivmesi kaç m/s²'dir?

A) 1 B) 2,5 C) 5 D) 10 E) 25

Soru 11

Yatay düzlemde yaya bağlı bir cisim basit harmonik hareket yaparken genliği iki katına çıkarılırsa toplam enerji nasıl değişir?

A) 2 katına çıkar
B) 4 katına çıkar
C) Değişmez
D) Yarıya düşer
E) √2 katına çıkar

Soru 12

Düşey bir yaya asılan cisim dengedeyken yay doğal boyundan 10 cm uzamıştır. Cisim denge konumundan 5 cm aşağı çekilip bırakıldığında genlik kaç cm'dir?

A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 7,5

Soru 13

Basit harmonik harekette aşağıdaki büyüklük çiftlerinden hangisi aynı anda maksimum olur?

A) Hız – İvme
B) Uzanım – Hız
C) Uzanım – İvme büyüklüğü
D) Hız – Potansiyel enerji
E) İvme – Kinetik enerji

Soru 14

Genliği 12 cm olan BHH yapan cismin uzanımı 6 cm iken potansiyel enerjisinin kinetik enerjisine oranı nedir?

A) 1/4 B) 1/3 C) 1/2 D) 3/1 E) 4/1

Soru 15

BHH yapan bir cismin t = 0 anında denge noktasından pozitif yönde geçtiği biliniyor. Bu cismin hareketi aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir?

A) x = A sin(ωt) B) x = A cos(ωt) C) x = -A sin(ωt) D) x = A cos(ωt + π) E) x = A sin(ωt + π/2)

Soru 16

Genliği A olan BHH'de cismin hızı maksimum hızının yarısına eşit olduğu andaki uzanım nedir?

A) A/2 B) A/4 C) A√3/2 D) A√2/2 E) A/3

Soru 17

Basit harmonik hareket yapan cismin denge noktasından geçerken sahip olduğu kinetik enerjisi 8 J'dür. Cisim uç noktadayken potansiyel enerjisi kaç J'dür?

A) 0 B) 4 C) 8 D) 16 E) Belirlenemez

Soru 18

Aşağıdakilerden hangisi denge noktası ile ilgili doğru değildir?

A) Geri çağırıcı kuvvet sıfırdır.
B) Hız maksimumdur.
C) Kinetik enerji maksimumdur.
D) İvme maksimumdur.
E) Uzanım sıfırdır.

Soru 19

k = 100 N/m olan bir yaya bağlı cismin toplam enerjisi 2 J'dür. Cismin uzanımı 0,1 m iken kinetik enerjisi kaç J'dür?

A) 0,5 B) 1,0 C) 1,5 D) 1,75 E) 2,0

Soru 20

Genliği 20 cm olan BHH yapan cisim, bir tam periyotta toplam kaç cm yol alır?

A) 20 B) 40 C) 60 D) 80 E) 100

Cevap Anahtarı

1. C 2. A 3. D 4. A 5. D

6. B 7. B 8. B 9. B 10. C

11. B 12. A 13. C 14. B 15. A

16. C 17. C 18. D 19. C 20. D

Cevap Açıklamaları

1. Denge noktasında net kuvvet sıfırdır (F = -kx, x = 0 iken F = 0). Cevap C.

2. x = 6 cm iken v = ω√(100-36) = 8ω. v_max = 10ω. Oran: 10ω/8ω = 5/4. Cevap A.

3. Genlik periyodu etkilemez; T = 2π√(m/k) genlikten bağımsızdır. Cevap D.

4. A = 0,05 m = 5 cm. ω = 4π, f = ω/2π = 2 Hz. Cevap A.

5. Uç noktada cisim anlık olarak durur, hız sıfırdır. Cevap D.

6. ω = √(k/m) = √(800/2) = √400 = 20 rad/s. Cevap B.

7. Ep = ½k(A/√2)² = ½k(A²/2) = kA²/4. E = ½kA² = kA²/2. Ep/E = 1/2. Ek/E = 1/2. Cevap B.

8. a = -ω²x, dolayısıyla ω² = 16, ω = 4 rad/s. Cevap B.

9. a = -ω²x: doğru orantılı ve zıt yönlü. Cevap B.

10. a_max = ω²A = 25 × 0,2 = 5 m/s². Cevap C.

11. E = ½kA². A → 2A ise E → ½k(2A)² = 4 × ½kA². Dört katına çıkar. Cevap B.

12. Denge konumundan 5 cm çekildiği için genlik 5 cm'dir. Doğal uzunluktan uzama denge konumunu belirler, genliği değil. Cevap A.

13. Uç noktada uzanım ve ivme büyüklüğü aynı anda maksimumdur. Cevap C.

14. Ep/Ek = x²/(A²-x²) = 36/(144-36) = 36/108 = 1/3. Cevap B.

15. t = 0'da x = 0 ve pozitif yöne gidiyor: x = A sin(ωt). Cevap A.

16. v = v_max/2 → ω√(A²-x²) = ωA/2 → A²-x² = A²/4 → x² = 3A²/4 → x = A√3/2. Cevap C.

17. Denge noktasında Ek = E_toplam = 8 J. Uç noktada Ep = E_toplam = 8 J. Cevap C.

18. Denge noktasında ivme sıfırdır, maksimum değildir. Cevap D.

19. Ep = ½kx² = ½ × 100 × 0,01 = 0,5 J. Ek = E - Ep = 2 - 0,5 = 1,5 J. Cevap C.

20. Bir tam periyotta cisim 4 genlik yol alır: 4 × 20 = 80 cm. Cevap D.

Çalışma Kağıdı

12. Sınıf Fizik – Uzanım, Genlik ve Denge Noktası Çalışma Kağıdı

Ünite: Basit Harmonik Hareket | Konu: Uzanım, Genlik ve Denge Noktası

Ad Soyad: ______________________________ Sınıf/No: ____________ Tarih: ___/___/______

Etkinlik 1 – Kavram Tanımlama

Aşağıdaki kavramları kendi cümlelerinizle tanımlayınız.

1. Denge Noktası:

______________________________________________________________________________________

2. Uzanım:

______________________________________________________________________________________

3. Genlik:

______________________________________________________________________________________

4. Geri Çağırıcı Kuvvet:

______________________________________________________________________________________

Etkinlik 2 – Boşluk Doldurma

Aşağıdaki cümlelerdeki boşlukları uygun kavramlarla doldurunuz.

1. Basit harmonik hareket yapan bir cismin denge noktasından olan anlık uzaklığına __________________ denir.

2. Cismin denge noktasından ulaşabileceği en büyük uzanım değerine __________________ denir ve __________ harfi ile gösterilir.

3. Denge noktasında cismin hızı __________________, ivmesi ise __________________ değerindedir.

4. Uç noktalarda cismin hızı __________________, ivmesi ise __________________ değerindedir.

5. Basit harmonik harekette geri çağırıcı kuvvet F = __________________ formülü ile hesaplanır.

6. Toplam mekanik enerji E = __________________ formülüyle hesaplanır ve genliğin __________________ ile doğru orantılıdır.

7. Yay-kütle sisteminde periyot genlikten __________________ (bağımlıdır / bağımsızdır).

8. Cismin uzanımı x(t) = A · sin(ωt + φ) ile ifade edilir. Burada ω, __________________ olarak adlandırılır.

Etkinlik 3 – Eşleştirme

Soldaki fiziksel büyüklükleri, sağdaki uygun açıklamalarla eşleştiriniz.

A. Uzanım = 0 ( ___ ) Potansiyel enerji maksimumdur.

B. Uzanım = +A ( ___ ) Hız maksimumdur.

C. v = v_max ( ___ ) Cisim denge noktasındadır.

D. a = 0 ( ___ ) Cisim uç noktadadır.

E. Ep = Ep_max ( ___ ) İvme sıfırdır.

Etkinlik 4 – Doğru / Yanlış

Aşağıdaki ifadelerin doğru olanlarına (D), yanlış olanlarına (Y) yazınız. Yanlış olanların doğrusunu yanına yazınız.

( ___ ) 1. Genlik her zaman pozitif bir değerdir.

Düzeltme: __________________________________________________________________________

( ___ ) 2. Genlik arttırıldığında basit harmonik hareketin periyodu da artar.

Düzeltme: __________________________________________________________________________

( ___ ) 3. Denge noktasında kinetik enerji maksimumdur.

Düzeltme: __________________________________________________________________________

( ___ ) 4. Uzanım ile ivme her zaman aynı yönlüdür.

Düzeltme: __________________________________________________________________________

( ___ ) 5. Uç noktalarda cismin hızı sıfırdır.

Düzeltme: __________________________________________________________________________

( ___ ) 6. Toplam mekanik enerji genlikle doğru orantılıdır.

Düzeltme: __________________________________________________________________________

Etkinlik 5 – Grafik Okuma

Aşağıda basit harmonik hareket yapan bir cismin uzanım-zaman grafiği sözel olarak tanımlanmıştır. Buna göre soruları cevaplayınız.

Grafik bilgisi: Cisim t = 0 anında x = 0 konumundadır ve pozitif yöne hareket etmektedir. t = 0,5 s anında x = +6 cm (tepe noktası), t = 1,0 s anında x = 0, t = 1,5 s anında x = -6 cm (çukur noktası), t = 2,0 s anında x = 0 konumundadır.

a) Genlik kaç cm'dir? A = ____________

b) Periyot kaç saniyedir? T = ____________

c) Frekans kaç Hz'dir? f = ____________

d) Açısal frekans kaç rad/s'dir? ω = ____________

e) t = 0,5 s anında cismin hızı nedir? v = ____________

f) t = 1,0 s anında cismin hızı nasıldır (maksimum, minimum, sıfır)? ____________

g) Bu hareketi modelleyen uzanım denklemi: x(t) = ____________

Etkinlik 6 – Problem Çözme

Problem 1: Yay sabiti k = 400 N/m olan bir yaya bağlı 1 kg kütleli cisim, denge konumundan 0,05 m çekilerek bırakılıyor. Buna göre:

a) Genliği bulunuz.