Çembersel harekette çizgisel hız ve açısal hız kavramları.
Konu Anlatımı
12. Sınıf Fizik – Çizgisel Hız ve Açısal Hız
Çembersel hareket, günlük hayatımızda pek çok yerde karşılaştığımız temel hareket türlerinden biridir. Bir arabanın tekerleklerinin dönmesi, dünyanın kendi ekseni etrafında dönmesi, bir atletizm pistinde koşan sporcunun viraj alması ve hatta bir çamaşır makinesinin tamburunun dönmesi; bunların hepsi çembersel hareketin örnekleridir. 12. Sınıf Fizik müfredatında Çembersel Hareket ünitesi kapsamında ele alınan Çizgisel Hız ve Açısal Hız kavramları, bu hareket türünü anlamamız için en kritik yapı taşlarını oluşturur. Bu konu anlatımında, her iki kavramı derinlemesine inceleyecek, formüllerini çıkaracak, aralarındaki ilişkiyi kuracak ve bol örnekle pekiştireceğiz.
Çembersel Hareket Nedir?
Bir cisim, sabit bir nokta (merkez) etrafında sabit bir yarıçapla dairesel bir yörüngede hareket ediyorsa bu harekete çembersel hareket denir. Eğer cismin hızının büyüklüğü değişmiyorsa buna düzgün çembersel hareket adı verilir. Düzgün çembersel harekette hızın büyüklüğü sabittir ancak yönü sürekli değişir; bu da cismin sürekli bir ivmeye (merkezcil ivme) sahip olduğu anlamına gelir.
Çembersel hareketi tam olarak anlayabilmek için önce bazı temel büyüklükleri tanımamız gerekir. Bu büyüklüklerin başında periyot, frekans, açısal hız ve çizgisel hız gelir. Şimdi bu kavramları tek tek ele alalım.
Periyot (T) ve Frekans (f)
Periyot (T), çembersel harekette cismin bir tam turu tamamlaması için geçen süredir. Birimi saniye (s) olarak ifade edilir. Örneğin bir cisim çember yörüngesinde bir tam turu 2 saniyede tamamlıyorsa periyodu T = 2 s'dir.
Frekans (f) ise birim zamanda (1 saniyede) tamamlanan tur sayısıdır. Birimi Hertz (Hz) veya 1/s olarak yazılır. Periyot ve frekans birbirinin tersidir:
f = 1 / T veya T = 1 / f
Örneğin periyodu 0,5 s olan bir cismin frekansı f = 1 / 0,5 = 2 Hz olur; yani cisim saniyede 2 tam tur yapar.
Açısal Hız (ω) Kavramı
Çembersel harekette cismin birim zamanda taradığı açı miktarına açısal hız denir ve Yunan alfabesindeki omega (ω) harfi ile gösterilir. Açısal hız, cismin dönme hızını ifade eden skaler olmayan (vektörel) bir büyüklüktür. Birimi rad/s (radyan/saniye) olarak ifade edilir.
Açısal hızı tanımlamak için öncelikle radyan kavramını bilmemiz gerekir. Radyan, bir çemberde yayın uzunluğunun yarıçapa oranı olarak tanımlanan açı ölçü birimidir. Bir tam çemberin açısı 360° olup radyan cinsinden 2π rad'dır. Buna göre:
360° = 2π rad → 180° = π rad → 1 rad ≈ 57,3°
Açısal hızın formülü şu şekilde yazılır:
ω = Δθ / Δt
Burada Δθ taranan açıyı (radyan cinsinden), Δt ise geçen süreyi ifade eder. Düzgün çembersel harekette cisim bir tam turda 2π radyan tarar ve bunu T sürede yapar. Dolayısıyla:
ω = 2π / T
Frekans ile ilişkilendirirsek T = 1/f olduğundan:
ω = 2πf
Bu iki formül, açısal hızı periyot veya frekans cinsinden hesaplamamıza olanak tanır ve sınavlarda sıkça karşımıza çıkar.
Açısal Hızın Yönü
Açısal hız aslında bir vektörel büyüklüktür. Yönü, sağ el kuralı ile belirlenir. Sağ elinizin parmaklarını cismin dönme yönünde kıvırırsanız, baş parmağınızın gösterdiği yön açısal hız vektörünün yönüdür. Bu yön, dönme düzlemine diktir. Saat yönünün tersine dönüşlerde açısal hız vektörü yukarı, saat yönünde dönüşlerde ise aşağı doğrudur. Ancak 12. sınıf düzeyinde genellikle açısal hızın büyüklüğü üzerinde durulur.
Açısal Hız ile İlgili Örnek
Örnek 1: Bir tekerlek dakikada 300 tur yapıyorsa açısal hızı kaç rad/s'dir?
Çözüm: Dakikada 300 tur yapıyorsa saniyede 300/60 = 5 tur yapar. Yani frekans f = 5 Hz'dir. Açısal hız: ω = 2πf = 2π × 5 = 10π rad/s ≈ 31,4 rad/s bulunur.
Örnek 2: Periyodu 0,25 s olan bir cismin açısal hızını bulunuz.
Çözüm: ω = 2π / T = 2π / 0,25 = 8π rad/s ≈ 25,1 rad/s olarak hesaplanır.
Çizgisel Hız (v) Kavramı
Çembersel harekette cismin yörüngesi üzerindeki anlık hızına çizgisel hız (veya teğetsel hız) denir. Çizgisel hız, cismin bulunduğu noktadaki çember teğeti doğrultusundadır. Bu nedenle çizgisel hızın yönü sürekli değişir, ancak düzgün çembersel harekette büyüklüğü sabittir.
Çizgisel hızı hesaplamak için cismin bir tam turda aldığı yolun, geçen süreye oranını alırız. Bir tam turda alınan yol, çemberin çevresi kadardır:
Çevre = 2πr
Bir tam tur T sürede tamamlandığına göre:
v = 2πr / T
Frekans cinsinden yazarsak:
v = 2πrf
Birimi m/s (metre/saniye) olarak ifade edilir. Burada r, çemberin yarıçapını gösterir.
Çizgisel Hız ile İlgili Örnek
Örnek 3: Yarıçapı 0,4 m olan bir çemberde dönen bir cismin periyodu 2 s ise çizgisel hızı kaçtır?
Çözüm: v = 2πr / T = 2π × 0,4 / 2 = 0,4π m/s ≈ 1,26 m/s bulunur.
Örnek 4: Bir bisiklet tekerleğinin yarıçapı 35 cm'dir ve tekerlek saniyede 4 tur yapıyorsa, tekerleğin dış noktasındaki çizgisel hız nedir?
Çözüm: r = 0,35 m, f = 4 Hz. v = 2πrf = 2π × 0,35 × 4 = 2,8π ≈ 8,8 m/s olarak hesaplanır.
Çizgisel Hız ve Açısal Hız Arasındaki İlişki
Çizgisel hız ve açısal hız arasında çok önemli ve temel bir bağıntı vardır. Bu bağıntıyı türetelim:
v = 2πr / T ve ω = 2π / T olduğuna göre, 2π / T = ω ifadesini v = 2πr / T denkleminde yerine koyarsak:
v = ω × r
Bu denklem, çizgisel hız ile açısal hız arasındaki doğrudan ilişkiyi gösterir. Buna göre çizgisel hız, açısal hız ile yarıçapın çarpımına eşittir. Bu formül son derece önemlidir ve sınavlarda mutlaka karşınıza çıkacaktır.
Bu bağıntıdan şu çıkarımları yapabiliriz:
- Aynı açısal hıza sahip cisimlerden yarıçapı büyük olanın çizgisel hızı daha büyüktür. Örneğin aynı disk üzerinde merkeze yakın ve uzak iki nokta düşünelim: her ikisinin de açısal hızı aynıdır (çünkü aynı sürede aynı açıyı tararlar), ancak merkeze uzak olan noktanın çizgisel hızı daha büyüktür.
- Aynı çizgisel hıza sahip cisimlerden yarıçapı büyük olanın açısal hızı daha küçüktür.
- Açısal hız yarıçaptan bağımsızdır; sadece periyot veya frekansa bağlıdır. Çizgisel hız ise hem açısal hıza hem de yarıçapa bağlıdır.
Kavramsal Karşılaştırma: Çizgisel Hız mı, Açısal Hız mı?
Öğrencilerin en çok karıştırdığı noktalardan biri, aynı cisim üzerindeki farklı noktaların hızlarını karşılaştırmaktır. Bunu somut bir örnekle açıklayalım:
Örnek 5: Bir müzik CD'si çalınırken düzgün çembersel hareket yapar. CD'nin merkezinden 2 cm uzaklıktaki A noktası ve 5 cm uzaklıktaki B noktasını karşılaştıralım.
Açısal hız karşılaştırması: A ve B noktaları aynı katı cisim (CD) üzerinde olduğundan aynı sürede aynı açıyı tararlar. Dolayısıyla ω_A = ω_B olur. Yani açısal hızları eşittir.
Çizgisel hız karşılaştırması: v = ωr formülünden, r_B > r_A olduğundan v_B > v_A olur. Yani merkeze uzak noktanın çizgisel hızı daha büyüktür.
Bu durum, günlük hayatta da gözlemlenebilir. Bir atlıkarıncada dış taraftaki kişi iç taraftakine göre daha hızlı hareket eder (çizgisel hız), ancak ikisi de aynı sürede bir tam tur tamamlar (açısal hız aynı).
İç İçe Geçmiş (Bağlı) Sistemler
Sınavlarda sıkça karşılaşılan bir diğer konu da birbirine bağlı çark veya dişli sistemleridir. Bu sistemlerde iki farklı durum söz konusu olabilir:
a) Aynı eksen etrafında dönen (iç içe) çarklar: Aynı eksende birbirine sabitlenmiş iki farklı yarıçaplı çark aynı açısal hızla döner. Yani ω değerleri eşittir. Ancak çizgisel hızları farklıdır; büyük yarıçaplı çarkın çevresindeki çizgisel hız daha fazladır.
b) Kayışla veya temas yoluyla birbirine bağlı çarklar: İki çark bir kayış veya zincir ile birbirine bağlıysa ya da temas halinde dönüyorsa, temas noktalarındaki çizgisel hızları eşittir. Yani v₁ = v₂ olur ve buradan ω₁r₁ = ω₂r₂ bağıntısı elde edilir. Bu durumda büyük yarıçaplı çarkın açısal hızı daha küçük olur.
Bağlı Sistem Örneği
Örnek 6: Yarıçapları r₁ = 10 cm ve r₂ = 30 cm olan iki çark bir kayışla birbirine bağlıdır. Küçük çarkın açısal hızı ω₁ = 12 rad/s ise büyük çarkın açısal hızı kaçtır?
Çözüm: Kayışla bağlı çarklarda çizgisel hızlar eşittir. v₁ = v₂ → ω₁r₁ = ω₂r₂ → 12 × 10 = ω₂ × 30 → ω₂ = 120 / 30 = 4 rad/s. Görüldüğü gibi büyük çarkın açısal hızı küçük çarkınkinin üçte biri kadardır.
Örnek 7: Aynı eksen etrafında dönen iki çarkın yarıçapları 20 cm ve 50 cm'dir. Küçük çarkın çevresindeki çizgisel hız 4 m/s ise büyük çarkın çevresindeki çizgisel hız kaçtır?
Çözüm: Aynı eksende dönen çarkların açısal hızları eşittir. Önce ω bulunur: ω = v₁/r₁ = 4/0,2 = 20 rad/s. Büyük çarkın çizgisel hızı: v₂ = ωr₂ = 20 × 0,5 = 10 m/s olur.
Devir Sayısı ve Taranan Açı
Çembersel harekette cismin belirli bir sürede kaç tur attığını veya ne kadarlık bir açı taradığını hesaplamak da önemlidir.
Devir sayısı (N): Cismin belirli bir süredeki toplam tur sayısıdır. N = t / T veya N = f × t formülleri ile bulunur.
Taranan açı (θ): Cismin belirli bir sürede taradığı toplam açıdır. θ = ω × t formülü ile hesaplanır. Bir tam turda taranan açı 2π rad = 360° olduğundan, taranan açıdan devir sayısı da bulunabilir: N = θ / 2π.
Alınan yol (x): Cismin yörüngesi üzerinde aldığı toplam mesafedir. x = v × t veya x = r × θ formülleri ile bulunur.
Devir Sayısı ve Taranan Açı Örnekleri
Örnek 8: Açısal hızı 4π rad/s olan bir cisim 10 saniyede kaç tur atar?
Çözüm: Taranan toplam açı: θ = ω × t = 4π × 10 = 40π rad. Devir sayısı: N = θ / 2π = 40π / 2π = 20 tur.
Örnek 9: Yarıçapı 0,5 m olan bir çemberde dönen cismin çizgisel hızı 3 m/s'dir. Bu cisim 8 saniyede kaç metre yol alır ve kaç tur tamamlar?
Çözüm: Alınan yol: x = v × t = 3 × 8 = 24 m. Çemberin çevresi: 2πr = 2π × 0,5 = π m ≈ 3,14 m. Devir sayısı: N = x / (2πr) = 24 / π ≈ 7,64 tur. Yani cisim yaklaşık 7 tam tur ve biraz daha yapar.
Düzgün Çembersel Harekette Merkezcil (Cisimsökel) İvme
Düzgün çembersel harekette hızın büyüklüğü sabit olsa da yönü sürekli değişir. Yönün değişmesi bir ivmenin varlığını gösterir. Bu ivmeye merkezcil ivme denir ve daima çemberin merkezine doğru yönelir.
Merkezcil ivmenin formülü:
a_m = v² / r = ω²r = vω
Bu üç eşdeğer formül, farklı verilere sahip olduğunuzda kolayca hesaplama yapmanızı sağlar. Merkezcil ivme konusu, çizgisel hız ve açısal hız ile doğrudan ilişkili olduğu için bu kavramları iyi anlamak gerekir.
Formüllerin Özet Tablosu
12. Sınıf Fizik Çizgisel Hız ve Açısal Hız konusundaki tüm önemli formülleri bir arada görelim:
- Açısal hız: ω = 2π / T = 2πf = Δθ / Δt (birimi: rad/s)
- Çizgisel hız: v = 2πr / T = 2πrf = ωr (birimi: m/s)
- Periyot-Frekans ilişkisi: T = 1 / f
- Temel bağıntı: v = ωr
- Taranan açı: θ = ω × t
- Alınan yol: x = v × t = r × θ
- Devir sayısı: N = t / T = f × t = θ / (2π)
- Merkezcil ivme: a = v² / r = ω²r
- Kayışlı bağlı sistem: v₁ = v₂ → ω₁r₁ = ω₂r₂
- Aynı eksenli sistem: ω₁ = ω₂ → v₁/r₁ = v₂/r₂
Günlük Hayattan Örnekler
Çizgisel hız ve açısal hız kavramlarını günlük hayattan örneklerle pekiştirelim:
Saat Kolları: Bir saatin akrep, yelkovan ve saniye kolunun açısal hızları birbirinden farklıdır. Saniye kolu en büyük açısal hıza sahiptir çünkü bir tam turu 60 saniyede tamamlar. Yelkovan bir tam turu 3600 saniyede (1 saat), akrep ise 43200 saniyede (12 saat) tamamlar. Aynı uzunluktaki kollar düşünüldüğünde, en büyük çizgisel hıza sahip olan da saniye kolu olur.
Araba Tekerlekleri: Bir araba sabit hızla düz yolda giderken tekerlekleri düzgün çembersel hareket yapar. Tekerleğin merkezine yakın bir nokta ile dış çevresindeki bir nokta aynı açısal hıza sahiptir ancak dış çevredeki noktanın çizgisel hızı daha fazladır. Arabanın yerle temas eden noktasındaki çizgisel hız, arabanın ilerleme hızına eşittir.
Dönme Dolap: Lunaparkta bir dönme dolap düşünün. Dolabın merkezine yakın kabinlerdeki insanlar ile dış çemberdeki insanlar aynı periyotta (aynı açısal hızla) dönerler. Ancak dış kabinlerdekiler daha uzun yol kat ederler, yani çizgisel hızları daha büyüktür.
Dünya'nın Dönüşü: Dünya kendi ekseni etrafında 24 saatte bir tam tur yapar. Ekvator üzerindeki bir nokta ile kutuplara yakın bir nokta aynı açısal hıza sahiptir; ancak ekvator, ekseninden daha uzak olduğu için çizgisel hızı çok daha büyüktür. Ekvator üzerindeki çizgisel hız yaklaşık 1670 km/h iken kutuplarda neredeyse sıfırdır.
Sık Yapılan Hatalar ve Uyarılar
12. Sınıf Fizik Çizgisel Hız ve Açısal Hız konusunda öğrencilerin sık yaptığı hatalardan kaçınmanız için aşağıdaki uyarılara dikkat ediniz:
1. Birim dönüşümlerini unutmak: Yarıçap verildiğinde cm-m dönüşümü, devir/dakika verildiğinde devir/saniye'ye çevirme işlemi sıkça unutulur. Formüle değer yerleştirmeden önce tüm birimlerin SI sistemine uygun olduğundan emin olun.
2. Açısal hız ile çizgisel hızı karıştırmak: Aynı cisim üzerindeki noktalar için açısal hız eşitken çizgisel hız farklıdır. Kayışla bağlı çarklarda ise çizgisel hız eşitken açısal hız farklıdır. Bu ayrımı mutlaka netleştirin.
3. Radyan-derece karışıklığı: Formüllerde açısal büyüklükler radyan cinsinden kullanılır. Eğer açı derece olarak verilmişse önce radyana çevirmeniz gerekir.
4. Yön kavramını ihmal etmek: Çizgisel hız vektörel bir büyüklüktür ve yönü çemberin teğeti doğrultusundadır. Düzgün çembersel harekette hızın büyüklüğü sabittir ancak yönü sürekli değişir.
5. Periyot ile süreyi karıştırmak: Periyot bir tam tur süresidir. Toplam süre birden fazla turu kapsayabilir. N tur için geçen toplam süre t = N × T şeklinde hesaplanır.
İleri Düzey Uygulama: Karışık Soru
Örnek 10: Yarıçapları r ve 3r olan iki çark bir kayışla birbirine bağlıdır. Küçük çark 6 saniyede 9 tur yapıyorsa büyük çarkın açısal hızını, çizgisel hızını ve 10 saniyede taradığı açıyı bulunuz.
Çözüm: Küçük çarkın periyodu: T₁ = 6/9 = 2/3 s. Açısal hızı: ω₁ = 2π / T₁ = 2π / (2/3) = 3π rad/s. Çizgisel hızı: v₁ = ω₁ × r = 3πr.
Kayışla bağlı olduğundan v₁ = v₂ → 3πr = ω₂ × 3r → ω₂ = π rad/s. Büyük çarkın çizgisel hızı: v₂ = 3πr (küçük çarkla aynı). Büyük çarkın 10 saniyede taradığı açı: θ = ω₂ × t = π × 10 = 10π rad.
Sonuç
12. Sınıf Fizik Çizgisel Hız ve Açısal Hız konusu, çembersel hareketin temelini oluşturan kritik bir konudur. Bu konuyu öğrenirken v = ωr temel bağıntısını iyi kavramak, bağlı sistemlerdeki eşitlik koşullarını doğru uygulamak ve birim dönüşümlerine dikkat etmek büyük önem taşır. Konuyu bol soru çözerek pekiştirmeniz, hem YKS'ye hazırlıkta hem de fizik dersinizdeki başarınızda belirleyici olacaktır. Formülleri ezberlemek yerine türetme mantığını anlamaya çalışın; bu yaklaşım farklı soru tipleriyle karşılaştığınızda size büyük avantaj sağlayacaktır.
Örnek Sorular
12. Sınıf Fizik – Çizgisel Hız ve Açısal Hız Çözümlü Sorular
Aşağıda 12. Sınıf Fizik Çizgisel Hız ve Açısal Hız konusuna ait 7 çoktan seçmeli ve 3 açık uçlu olmak üzere toplam 10 çözümlü soru bulunmaktadır. Her sorunun detaylı çözümü verilmiştir.
Soru 1 (Çoktan Seçmeli)
Yarıçapı 0,2 m olan bir çemberde düzgün çembersel hareket yapan bir cismin periyodu 4 s'dir. Cismin çizgisel hızı kaç m/s'dir?
A) 0,1π B) 0,2π C) 0,4π D) 0,8π E) π
Çözüm: v = 2πr / T = 2π × 0,2 / 4 = 0,4π / 4 = 0,1π m/s.
Cevap: A
Soru 2 (Çoktan Seçmeli)
Bir cisim düzgün çembersel hareketle saniyede 5 tur yapıyorsa açısal hızı kaç rad/s'dir?
A) 5π B) 10π C) 2,5π D) 20π E) π
Çözüm: f = 5 Hz. ω = 2πf = 2π × 5 = 10π rad/s.
Cevap: B
Soru 3 (Çoktan Seçmeli)
Aynı eksen etrafında dönen yarıçapları 2r ve 5r olan iki çarkın çevresindeki K ve L noktaları için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Çizgisel hızları eşittir. B) Açısal hızları farklıdır. C) K'nın çizgisel hızı daha büyüktür. D) L'nin çizgisel hızı K'nınkinin 2,5 katıdır. E) Periyotları farklıdır.
Çözüm: Aynı eksen etrafında dönen çarklarda açısal hızlar eşittir (ω_K = ω_L) ve periyotlar da eşittir. Çizgisel hızlar v = ωr bağıntısından farklı olur. v_L / v_K = 5r / 2r = 2,5. Yani L'nin çizgisel hızı K'nınkinin 2,5 katıdır.
Cevap: D
Soru 4 (Çoktan Seçmeli)
Yarıçapları r₁ = 10 cm ve r₂ = 40 cm olan iki çark kayışla birbirine bağlıdır. Büyük çarkın periyodu 8 s ise küçük çarkın periyodu kaç saniyedir?
A) 0,5 B) 1 C) 2 D) 4 E) 32
Çözüm: Kayışla bağlı çarklarda v₁ = v₂ → ω₁r₁ = ω₂r₂. ω = 2π/T olduğundan (2π/T₁) × r₁ = (2π/T₂) × r₂ → r₁/T₁ = r₂/T₂ → T₁ = T₂ × (r₁/r₂) = 8 × (10/40) = 8 × 0,25 = 2 s.
Cevap: C
Soru 5 (Çoktan Seçmeli)
Açısal hızı 6π rad/s olan bir cisim 5 saniyede kaç tur tamamlar?
A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 30
Çözüm: Taranan açı: θ = ω × t = 6π × 5 = 30π rad. Tur sayısı: N = θ / (2π) = 30π / (2π) = 15 tur.
Cevap: C
Soru 6 (Çoktan Seçmeli)
Bir cisim yarıçapı 0,3 m olan çembersel yörüngede 4π rad/s açısal hızla dönüyor. Cismin merkezcil ivmesi kaç m/s²'dir?
A) 1,2π² B) 4,8π² C) 3,6π² D) 2,4π² E) 0,6π²
Çözüm: a = ω²r = (4π)² × 0,3 = 16π² × 0,3 = 4,8π² m/s².
Cevap: B
Soru 7 (Çoktan Seçmeli)
Düzgün çembersel hareket yapan X, Y ve Z cisimlerinin yarıçap ve periyot değerleri sırasıyla (2r, T), (r, 2T) ve (3r, T) şeklindedir. Çizgisel hızları arasındaki büyüklük ilişkisi nasıldır?
A) v_X = v_Y = v_Z B) v_Z > v_X > v_Y C) v_X > v_Z > v_Y D) v_Y > v_X > v_Z E) v_Z > v_Y > v_X
Çözüm: v = 2πr/T formülü ile: v_X = 2π(2r)/T = 4πr/T. v_Y = 2π(r)/(2T) = πr/T. v_Z = 2π(3r)/T = 6πr/T. Büyüklük sıralaması: v_Z > v_X > v_Y.
Cevap: B
Soru 8 (Açık Uçlu)
Bir bisiklet tekerleğinin yarıçapı 40 cm'dir. Bisiklet 25 m/s hızla düz bir yolda ilerlemektedir. Tekerleğin açısal hızını ve bir turda geçen süreyi (periyot) hesaplayınız.
Çözüm: Tekerleğin yerle temas noktasındaki çizgisel hız bisikletin ilerleme hızına eşittir: v = 25 m/s. r = 0,4 m.
Açısal hız: ω = v / r = 25 / 0,4 = 62,5 rad/s.
Periyot: T = 2π / ω = 2π / 62,5 ≈ 0,1005 s ≈ 0,1 s.
Yani tekerlek yaklaşık her 0,1 saniyede bir tam tur tamamlamaktadır.
Soru 9 (Açık Uçlu)
Yarıçapları r₁ = 5 cm, r₂ = 15 cm ve r₃ = 10 cm olan üç çark şekildeki gibi bağlıdır. 1. ve 2. çark kayışla bağlıdır. 2. ve 3. çark ise aynı eksen üzerindedir. 1. çarkın açısal hızı ω₁ = 30 rad/s ise 3. çarkın çizgisel hızını bulunuz.
Çözüm: 1. ve 2. çark kayışla bağlı olduğundan çizgisel hızları eşittir: v₁ = v₂ → ω₁r₁ = ω₂r₂ → 30 × 5 = ω₂ × 15 → ω₂ = 10 rad/s.
2. ve 3. çark aynı eksende olduğundan açısal hızları eşittir: ω₃ = ω₂ = 10 rad/s.
3. çarkın çizgisel hızı: v₃ = ω₃ × r₃ = 10 × 0,10 = 1 m/s.
Soru 10 (Açık Uçlu)
Dünya, kendi ekseni etrafında 24 saatte bir tam tur yapmaktadır. Dünya'nın yarıçapı yaklaşık 6400 km'dir. Ekvator üzerindeki bir noktanın çizgisel hızını ve açısal hızını hesaplayınız. Ayrıca 45° enlemindeki bir noktanın çizgisel hızını bulunuz. (cos45° ≈ 0,707)
Çözüm: Periyot: T = 24 saat = 24 × 3600 = 86400 s.
Açısal hız: ω = 2π / T = 2π / 86400 ≈ 7,27 × 10⁻⁵ rad/s. Bu değer Dünya üzerindeki her nokta için aynıdır.
Ekvator üzerindeki çizgisel hız: v = ωR = 7,27 × 10⁻⁵ × 6400000 ≈ 465,3 m/s ≈ 1675 km/h.
45° enleminde ekseninden uzaklık (etkin yarıçap): r = R × cos45° = 6400 × 0,707 ≈ 4525 km = 4525000 m.
Bu noktadaki çizgisel hız: v = ωr = 7,27 × 10⁻⁵ × 4525000 ≈ 329 m/s ≈ 1185 km/h.
Görüldüğü gibi ekvatordan kutuplara doğru gidildikçe çizgisel hız azalır, ancak açısal hız her yerde aynıdır.
Çalışma Kağıdı
12. Sınıf Fizik – Çizgisel Hız ve Açısal Hız Çalışma Kâğıdı
Ünite: Çembersel Hareket | Konu: Çizgisel Hız ve Açısal Hız
Adı Soyadı: __________________________ Sınıf / No: _______ Tarih: ___/___/______
Etkinlik 1 – Kavram Haritası: Boşlukları Doldurun
Aşağıdaki cümlelerdeki boşlukları uygun kavramlarla doldurunuz.
1. Bir cismin birim zamanda taradığı açıya __________________ denir ve birimi __________ dir.
2. Çizgisel hız ile açısal hız arasındaki temel bağıntı __________________ şeklindedir.
3. Bir tam tur __________ radyan açıya karşılık gelir.
4. Düzgün çembersel harekette hızın __________ sabittir, ancak __________ sürekli değişir.
5. Periyot ile frekans arasındaki ilişki __________________ şeklindedir.
6. Kayışla birbirine bağlı iki çarkın __________________ hızları eşittir.
7. Aynı eksen etrafında dönen iki çarkın __________________ hızları eşittir.
8. Merkezcil ivme formülü a = __________ veya a = __________ şeklinde yazılır.
9. Bir cisim t sürede θ kadar açı taramışsa açısal hız ω = __________ formülüyle bulunur.
10. Frekansı f olan bir cismin açısal hızı ω = __________ dir.
Etkinlik 2 – Eşleştirme
Sol sütundaki ifadeleri sağ sütundaki uygun karşılıklarıyla eşleştiriniz.
1. Periyot (T) ( ) a. rad/s
2. Frekans (f) ( ) b. Çemberin teğeti doğrultusunda
3. Açısal hız birimi ( ) c. 2πr/T
4. Çizgisel hız yönü ( ) d. Bir tam tur süresi
5. Çizgisel hız formülü ( ) e. Hz
Etkinlik 3 – Doğru / Yanlış
Aşağıdaki ifadelerin doğru (D) veya yanlış (Y) olduğunu belirtiniz.
( ) 1. Düzgün çembersel harekette ivme sıfırdır.
( ) 2. Aynı disk üzerindeki tüm noktaların açısal hızı aynıdır.
( ) 3. Kayışla bağlı iki çarkın açısal hızları her zaman eşittir.
( ) 4. Açısal hız yarıçapa bağlıdır.
( ) 5. v = ωr formülünde r arttıkça v de artar (ω sabitken).
( ) 6. Çizgisel hız skaler bir büyüklüktür.
( ) 7. 1 rad yaklaşık 57,3 dereceye eşittir.
( ) 8. Merkezcil ivme çemberin teğeti doğrultusundadır.
Etkinlik 4 – Birim Dönüşümü Tablosu
Aşağıdaki tabloyu doldurunuz.
| Devir/dakika | Devir/saniye (f) | Periyot (T) | Açısal hız (ω) |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| 60 | ______ | ______ | ______ |
| 300 | ______ | ______ | ______ |
| 1200 | ______ | ______ | ______ |
| 30 | ______ | ______ | ______ |
Etkinlik 5 – Problem Çözme
Problem 1: Yarıçapı 40 cm olan bir çemberde düzgün çembersel hareket yapan cismin frekansı 2,5 Hz'dir.
a) Periyodunu bulunuz.
b) Açısal hızını bulunuz.
c) Çizgisel hızını bulunuz.
d) 6 saniyede kaç tur tamamlar?
Çözüm alanı:
Problem 2: Yarıçapları 8 cm ve 24 cm olan iki çark kayışla birbirine bağlıdır. Küçük çarkın açısal hızı 18 rad/s ise:
a) Büyük çarkın açısal hızını bulunuz.
b) Her iki çarkın çizgisel hızlarını bulunuz.
c) Büyük çarkın periyodunu bulunuz.
Çözüm alanı:
Problem 3: Aynı eksen etrafında dönen iki çarkın yarıçapları 10 cm ve 30 cm'dir. Sistem 4π rad/s açısal hızla dönüyorsa:
a) Her iki çarkın çevresindeki çizgisel hızları bulunuz.
b) Her iki noktanın 5 saniyede aldığı yolu hesaplayınız.
Çözüm alanı:
Problem 4: Bir arabanın tekerlek yarıçapı 30 cm'dir. Araba 54 km/h sabit hızla ilerliyor. Tekerleklerin açısal hızını ve frekansını bulunuz.
Çözüm alanı:
Etkinlik 6 – Karşılaştırma Soruları
Aşağıda verilen durumlarda büyüklükler arasındaki ilişkiyi >, < veya = sembolleriyle ifade ediniz.
1. Aynı CD üzerinde merkeze 2 cm ve 5 cm uzaklıktaki A ve B noktaları:
ω_A _____ ω_B v_A _____ v_B T_A _____ T_B
2. Kayışla bağlı r₁ = 3 cm ve r₂ = 9 cm yarıçaplı çarklardaki K ve L noktaları:
ω_K _____ ω_L v_K _____ v_L T_K _____ T_L
3. Aynı frekansta dönen yarıçapları r ve 2r olan iki farklı çember:
ω₁ _____ ω₂ v₁ _____ v₂ a₁ _____ a₂
Etkinlik 7 – Günlük Hayat Bağlantısı
Aşağıdaki soruları kısa paragraflarla cevaplayınız.
1. Bir atlıkarıncada dış taraftaki çocuk neden iç taraftakine göre daha hızlı hisseder? Açıklayınız.
2. Dünyanın ekvatorundaki bir kişi ile 60° enlemindeki bir kişinin hangisinin çizgisel hızı daha büyüktür? Neden?
3. Bir bisikletin arka dişlisi küçük, ön dişlisi büyük olduğunda pedallamak neden zorlaşır? Çizgisel ve açısal hız kavramlarıyla açıklayınız.
Cevap Anahtarı
Etkinlik 1: 1. açısal hız, rad/s 2. v = ωr 3. 2π 4. büyüklüğü, yönü 5. T = 1/f 6. çizgisel 7. açısal 8. v²/r, ω²r 9. θ/t 10. 2πf
Etkinlik 2: 1-d, 2-e, 3-a, 4-b, 5-c
Etkinlik 3: 1-Y, 2-D, 3-Y, 4-Y, 5-D, 6-Y, 7-D, 8-Y
Etkinlik 4: 60 d/dk → 1 Hz, 1 s, 2π rad/s | 300 d/dk → 5 Hz, 0,2 s, 10π rad/s | 1200 d/dk → 20 Hz, 0,05 s, 40π rad/s | 30 d/dk → 0,5 Hz, 2 s, π rad/s
Etkinlik 5 – Problem 1: a) T = 0,4 s b) ω = 5π rad/s c) v = 2π m/s d) N = 15 tur
Etkinlik 5 – Problem 2: a) ω₂ = 6 rad/s b) v₁ = v₂ = 1,44 m/s c) T₂ = π/3 s ≈ 1,05 s
Etkinlik 5 – Problem 3: a) v₁ = 0,4π m/s, v₂ = 1,2π m/s b) x₁ = 2π m, x₂ = 6π m
Etkinlik 5 – Problem 4: 54 km/h = 15 m/s → ω = 50 rad/s, f = 25/π ≈ 7,96 Hz
Etkinlik 6: 1. ω_A = ω_B, v_A < v_B, T_A = T_B 2. ω_K > ω_L, v_K = v_L, T_K < T_L 3. ω₁ = ω₂, v₁ < v₂, a₁ < a₂
Sıkça Sorulan Sorular
12. Sınıf Fizik müfredatı 2025-2026 yılında kaç ünite?
2025-2026 müfredatına göre 12. sınıf fizik dersi birden fazla üniteden oluşmaktadır. Sayfadaki ünite listesinden güncel bilgiye ulaşabilirsiniz.
12. sınıf Çizgisel hız ve açısal hız konuları hangi dönemlerde işleniyor?
12. sınıf fizik dersi konuları 1. dönem ve 2. dönem olarak iki yarıyılda işlenmektedir. Her ünitenin tahmini süre bilgisi Millî Eğitim Bakanlığı'nın haftalık ders planlarında yer almaktadır.
12. sınıf fizik müfredatı ne zaman güncellendi?
Gösterilen içerik 2025-2026 eğitim-öğretim yılı için güncellenmiştir. Millî Eğitim Bakanlığı'nın resmi sitesinde yayımlanan müfredat dokümanları esas alınmıştır.