Çember denklemi ve analitik düzlemde çemberin incelenmesi.
Konu Anlatımı
Çemberin Analitik İncelenmesi – Giriş
12. Sınıf Matematik Çemberin Analitik İncelenmesi konusu, analitik geometri ünitesinin en temel ve en çok soru gelen başlıklarından biridir. Bu konu, çemberin koordinat düzlemindeki cebirsel ifadesini, çembere ait temel kavramları ve çemberle ilgili problemlerin çözüm yöntemlerini kapsamlı biçimde ele alır. Çemberin analitik incelenmesini iyi kavramak; üniversite sınavına hazırlık sürecinde, özellikle AYT Matematik bölümünde, pek çok soruyu rahatlıkla çözmenizi sağlayacaktır.
Bu rehberde sırasıyla çemberin tanımı, standart denklemi, genel denklemi, merkez-yarıçap bulma, noktanın çembere göre durumu, çembere teğet doğrular, iki çemberin birbirine göre durumu ve kuvvet kavramı gibi alt başlıkları tüm ayrıntılarıyla inceleyeceğiz. Her alt başlığın sonunda çözümlü örneklerle konuyu pekiştireceğiz.
1. Çemberin Tanımı ve Temel Kavramlar
Çember, düzlemde sabit bir noktaya (merkez) eşit uzaklıkta bulunan noktalar kümesidir. Bu sabit uzaklığa yarıçap (r) denir. Analitik geometride çemberi incelerken, merkezi ve yarıçapı bilinen bir çemberin denklemini kurar; bu denklem üzerinden çeşitli problemleri çözeriz.
Temel kavramları hatırlayalım:
- Merkez (M): Çember üzerindeki her noktaya eşit uzaklıkta olan sabit noktadır. Koordinat düzleminde genellikle M(a, b) olarak gösterilir.
- Yarıçap (r): Merkez ile çember üzerindeki herhangi bir nokta arasındaki uzaklıktır. Daima pozitif bir reel sayıdır (r > 0).
- Çap: Çemberin merkezinden geçerek çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasıdır; uzunluğu 2r'dir.
- Kiriş: Çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasıdır.
- Teğet doğru: Çembere yalnızca bir noktada değen doğrudur.
- Sekant doğru: Çemberi iki noktada kesen doğrudur.
2. Çemberin Standart Denklemi
Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan bir çemberin standart denklemi şu şekildedir:
(x − a)² + (y − b)² = r²
Bu denklem, çember üzerindeki herhangi bir P(x, y) noktasının merkeze uzaklığının r olması koşulundan doğrudan elde edilir. Uzaklık formülünü hatırlarsak:
|MP| = √[(x − a)² + (y − b)²] = r
Her iki tarafın karesi alındığında standart denkleme ulaşılır.
Özel Durum: Merkezi orijinde, yani M(0, 0) olan bir çemberin standart denklemi şudur:
x² + y² = r²
Bu, en basit çember denklemidir ve birçok problemde karşımıza çıkar.
3. Çemberin Genel Denklemi
Standart denklemi açarak düzenlersek çemberin genel denklemini elde ederiz:
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
Burada D, E ve F reel sayılardır. Standart denklemle genel denklem arasındaki ilişkiyi görmek için standart denklemi açalım:
(x − a)² + (y − b)² = r²
x² − 2ax + a² + y² − 2by + b² = r²
x² + y² − 2ax − 2by + (a² + b² − r²) = 0
Bu ifadeyi genel denklemle karşılaştırırsak:
- D = −2a → a = −D/2
- E = −2b → b = −E/2
- F = a² + b² − r² → r² = a² + b² − F = D²/4 + E²/4 − F
Genel denklemden merkez ve yarıçapı bulmak için bu bağıntıları kullanırız. Bir ifadenin çember denklemi olabilmesi için r² > 0, yani D²/4 + E²/4 − F > 0 koşulunun sağlanması gerekir. Eğer bu ifade sıfıra eşitse nokta çember, negatifse boş küme elde edilir.
4. Çemberin Genel Denkleminden Merkez ve Yarıçap Bulma
Verilen bir genel denklemden merkez ve yarıçapı bulmak için iki yöntem kullanılabilir:
Yöntem 1 – Katsayı Karşılaştırma: x² + y² + Dx + Ey + F = 0 denkleminde D, E ve F katsayılarını belirle; sonra a = −D/2, b = −E/2 ve r = √(a² + b² − F) formüllerini uygula.
Yöntem 2 – Tam Kareye Tamamlama: Denklemi x ve y değişkenlerine göre grupla, her iki değişken için tam kare oluştur ve standart forma dönüştür.
Çözümlü Örnek 1: x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 çemberinin merkezi ve yarıçapını bulalım.
Katsayıları belirleyelim: D = −6, E = 4, F = −12.
a = −(−6)/2 = 3, b = −4/2 = −2
r² = 3² + (−2)² − (−12) = 9 + 4 + 12 = 25 → r = 5
Merkez M(3, −2), yarıçap r = 5'tir.
Çözümlü Örnek 2: Merkezi M(−1, 3) ve yarıçapı 4 olan çemberin genel denklemini yazalım.
Standart denklem: (x + 1)² + (y − 3)² = 16
Açarsak: x² + 2x + 1 + y² − 6y + 9 = 16
x² + y² + 2x − 6y − 6 = 0
5. Bir Noktanın Çembere Göre Durumu
P(x₀, y₀) noktasının, x² + y² + Dx + Ey + F = 0 çemberine göre konumunu belirlemek için P noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyarız. Elde edilen değere noktanın kuvveti denir ve K ile gösterilir:
K = x₀² + y₀² + Dx₀ + Ey₀ + F
- K < 0 ise P noktası çemberin içindedir.
- K = 0 ise P noktası çemberin üzerindedir.
- K > 0 ise P noktası çemberin dışındadır.
Çözümlü Örnek 3: A(1, 2) noktasının x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0 çemberine göre durumunu belirleyelim.
K = 1² + 2² − 4(1) + 6(2) − 3 = 1 + 4 − 4 + 12 − 3 = 10
K = 10 > 0 olduğundan A noktası çemberin dışındadır.
6. Çembere Teğet Doğrular
Çembere teğet doğrular, çemberi tam olarak bir noktada kesen doğrulardır. Teğet doğru problemleri, 12. sınıf matematik ve üniversite sınavlarında sıkça karşınıza çıkar. Teğet doğruları farklı senaryolara göre inceleyelim.
6.1. Çember Üzerindeki Bir Noktadan Çizilen Teğet
P(x₀, y₀) noktası (x − a)² + (y − b)² = r² çemberi üzerindeyse, bu noktadaki teğet doğrunun denklemi şu formülle bulunur:
(x₀ − a)(x − a) + (y₀ − b)(y − b) = r²
Merkezi orijinde olan x² + y² = r² çemberi için bu formül basitleşir:
x₀·x + y₀·y = r²
Çözümlü Örnek 4: x² + y² = 25 çemberinin (3, 4) noktasındaki teğet doğrunun denklemini bulalım.
3x + 4y = 25
Bu doğrunun gerçekten teğet olduğunu doğrulamak için merkezden bu doğruya olan uzaklığın yarıçapa eşit olduğunu kontrol edebiliriz: d = |0 + 0 − 25| / √(9 + 16) = 25/5 = 5 = r. Doğrulandı.
6.2. Çember Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetler
Çemberin dışındaki bir P noktasından çembere iki teğet doğru çizilebilir. Bu teğet doğruların uzunluğu (P noktasından teğet noktasına olan uzaklık) şu formülle hesaplanır:
|PT| = √(d² − r²)
Burada d, P noktasının merkeze uzaklığıdır. Alternatif olarak kuvvet kavramını kullanarak |PT| = √K olarak da hesaplanabilir.
Çözümlü Örnek 5: (x − 2)² + (y + 1)² = 9 çemberine P(6, 2) noktasından çizilen teğet uzunluğunu bulalım.
Merkez M(2, −1), r = 3.
|MP| = √[(6−2)² + (2+1)²] = √[16 + 9] = √25 = 5
|PT| = √(25 − 9) = √16 = 4
6.3. Eğimi Bilinen Teğet Doğru
x² + y² = r² çemberine eğimi m olan teğet doğruların denklemi şöyledir:
y = mx ± r√(1 + m²)
Bu formül, merkezi orijinde olan çemberler için geçerlidir. Merkezi orijinde olmayan çemberler için, merkez-doğru uzaklığını yarıçapa eşitleyerek teğet denklemi elde edilir.
Çözümlü Örnek 6: x² + y² = 8 çemberine eğimi 1 olan teğet doğruların denklemlerini bulalım.
y = 1·x ± √8 · √(1 + 1) = x ± √8 · √2 = x ± √16 = x ± 4
Teğet doğrular: y = x + 4 ve y = x − 4.
7. Doğru ve Çemberin Durumları
Bir doğrunun çemberle ilişkisini belirlemek için merkezden doğruya olan uzaklığı (d) yarıçapla (r) karşılaştırırız:
- d < r → Doğru çemberi iki noktada keser (sekant).
- d = r → Doğru çembere teğettir (bir noktada değer).
- d > r → Doğru çemberin dışındadır (ortak nokta yoktur).
Alternatif yöntem olarak doğru denklemini çember denkleminde yerine koyup elde edilen ikinci dereceden denklemin diskriminantını (Δ) inceleyebiliriz: Δ > 0 ise iki nokta, Δ = 0 ise teğet, Δ < 0 ise kesişim yoktur.
Çözümlü Örnek 7: x² + y² = 20 çemberi ile y = 2x + 5 doğrusunun durumunu belirleyelim.
Merkezden doğruya uzaklık: d = |0 − 0 + 5| / √(4 + 1) = 5/√5 = √5
r = √20 = 2√5
d = √5 < 2√5 = r olduğundan doğru çemberi iki noktada keser.
8. İki Çemberin Birbirine Göre Durumları
İki çemberin birbirine göre konumunu belirlemek için merkezler arası uzaklığı (d), yarıçapların toplamını (r₁ + r₂) ve farkını (|r₁ − r₂|) karşılaştırırız.
- d > r₁ + r₂ → İki çember birbirinin dışındadır (ortak nokta yok, 4 ortak teğet).
- d = r₁ + r₂ → İki çember dıştan teğettir (1 ortak nokta, 3 ortak teğet).
- |r₁ − r₂| < d < r₁ + r₂ → İki çember birbirini iki noktada keser (2 ortak nokta, 2 ortak teğet).
- d = |r₁ − r₂| → İki çember içten teğettir (1 ortak nokta, 1 ortak teğet).
- d < |r₁ − r₂| → Bir çember diğerinin içindedir (ortak nokta yok, ortak teğet yok).
Çözümlü Örnek 8: Merkezleri M₁(1, 2), M₂(7, 10) ve yarıçapları r₁ = 3, r₂ = 5 olan iki çemberin durumunu belirleyelim.
d = √[(7−1)² + (10−2)²] = √[36 + 64] = √100 = 10
r₁ + r₂ = 8, |r₁ − r₂| = 2
d = 10 > 8 = r₁ + r₂ olduğundan iki çember birbirinin dışındadır.
9. İki Çemberin Kesim Doğrusu (Radikal Eksen)
İki çember birbirini kesiyorsa, kesim noktalarından geçen doğrunun denklemini bulmak için iki çember denklemini taraf tarafa çıkarırız. Bu doğruya radikal eksen veya kuvvet doğrusu denir.
C₁: x² + y² + D₁x + E₁y + F₁ = 0 ve C₂: x² + y² + D₂x + E₂y + F₂ = 0 ise radikal eksen denklemi:
(D₁ − D₂)x + (E₁ − E₂)y + (F₁ − F₂) = 0
Çözümlü Örnek 9: x² + y² − 4x + 2y − 4 = 0 ve x² + y² + 2x − 6y + 2 = 0 çemberlerinin kesim doğrusunu bulalım.
(−4 − 2)x + (2 − (−6))y + (−4 − 2) = 0
−6x + 8y − 6 = 0 → 3x − 4y + 3 = 0
10. Çemberin Parametrik Denklemi
Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan çemberin parametrik denklemleri şöyledir:
x = a + r·cos(t)
y = b + r·sin(t)
Burada t parametresi 0 ile 2π arasında değişir. Parametrik denklemler, özellikle çember üzerindeki noktaları belirlerken ve trigonometrik uygulamalarda kullanışlıdır.
11. Çemberin Eksenleri ve Doğrularla İlişkisi – Ek Özellikler
Bir çemberin x eksenine teğet olabilmesi için merkezin y koordinatının mutlak değerinin yarıçapa eşit olması, yani |b| = r olması gerekir. Benzer şekilde y eksenine teğet olabilmesi için |a| = r olmalıdır. Her iki eksene de teğet olan çemberlerde ise |a| = |b| = r koşulu sağlanır.
Çemberin x eksenini kestiği noktaları bulmak için denklemde y = 0, y eksenini kestiği noktaları bulmak için x = 0 yazılır. Çemberin bir ekseni kestiği noktalar arasındaki uzaklığa o eksendeki kiriş uzunluğu denir.
Çözümlü Örnek 10: (x − 3)² + (y − 4)² = 25 çemberinin x eksenini kestiği noktaları ve kiriş uzunluğunu bulalım.
y = 0 yazalım: (x − 3)² + 16 = 25 → (x − 3)² = 9 → x − 3 = ±3 → x = 6 veya x = 0
Kesim noktaları: (0, 0) ve (6, 0). Kiriş uzunluğu = 6 − 0 = 6 birimdir.
12. Çemberin Kuvveti
Bir P noktasının bir çembere göre kuvveti, daha önce noktanın konumu kısmında tanımladığımız K değeridir. Kuvvet kavramı, çember dışındaki bir noktadan çizilen teğet uzunluğunu bulmada ve iki çemberin radikal eksenini belirlemede kritik rol oynar.
P noktasından çembere çizilen bir sekant doğrusu çemberi A ve B noktalarında kesiyorsa: |PA| · |PB| = |K| bağıntısı geçerlidir. P noktasından teğet çizilebiliyorsa: |PT|² = K olur.
13. Pratik İpuçları ve Sınav Stratejileri
12. Sınıf Matematik Çemberin Analitik İncelenmesi konusunda sınavlarda başarılı olmak için şu ipuçlarını göz önünde bulundurun:
- Formülleri ezberlemeyin, anlayın: Standart denklem, uzaklık formülünden türetilir. Mantığını kavradığınızda unutmanız zorlaşır.
- Genel denklemde x² ve y² katsayılarının 1 olduğundan emin olun: Eğer katsayılar 1 değilse, önce tüm denklemi bu katsayıya bölün.
- Teğet problemlerinde uzaklık formülünü kullanın: Merkezden doğruya uzaklık = yarıçap eşitliği çoğu problemi çözer.
- İki çember problemlerinde önce merkezler arası uzaklığı hesaplayın: Bu değer, çemberlerin konumunu hemen belirlemenizi sağlar.
- Şekil çizin: Analitik geometri sorularında yaklaşık bir şekil çizmek, çözüm yolunu görmenizi kolaylaştırır.
14. Çember Aileleri ve Demet Denklemi
İki çemberin kesim noktalarından geçen sonsuz sayıda çember vardır. C₁ ve C₂ çemberleri verildiğinde, bu ailenin genel denklemi şöyle yazılır:
C₁ + k·C₂ = 0 (k ≠ −1 bir parametre)
k = −1 olduğunda ise çember değil, iki çemberin kesim noktalarından geçen doğru (radikal eksen) elde edilir. Bu kavram, özellikle üç çemberin ortak noktalarının bulunmasında ve geometrik yer problemlerinde oldukça faydalıdır.
15. Konu Özeti
12. Sınıf Matematik Çemberin Analitik İncelenmesi konusunda öğrendiğimiz temel kavramları özetleyelim: Çemberin standart denklemi (x − a)² + (y − b)² = r², genel denklemi x² + y² + Dx + Ey + F = 0 biçimindedir. Noktanın çembere göre durumu kuvvet değeri ile belirlenir. Teğet doğrular; çember üzerinden, çember dışından veya eğim bilgisiyle bulunabilir. İki çemberin birbirine göre beş farklı durumu vardır ve bunlar merkezler arası uzaklıkla belirlenir. Radikal eksen, iki çember denkleminin farkından elde edilir. Tüm bu kavramları bolca soru çözerek pekiştirmeniz, hem okul sınavlarında hem de üniversite sınavında büyük avantaj sağlayacaktır.
Örnek Sorular
12. Sınıf Matematik – Çemberin Analitik İncelenmesi Çözümlü Sorular
Aşağıda 12. Sınıf Matematik Çemberin Analitik İncelenmesi konusuna ait 10 adet çözümlü soru bulunmaktadır. İlk 6 soru çoktan seçmeli, son 4 soru açık uçludur.
Soru 1 (Çoktan Seçmeli)
x² + y² − 8x + 6y − 11 = 0 çemberinin merkezi ve yarıçapı nedir?
A) M(4, −3), r = 6
B) M(−4, 3), r = 6
C) M(4, −3), r = 36
D) M(8, −6), r = 6
E) M(4, 3), r = 6
Çözüm:
D = −8, E = 6, F = −11
a = −D/2 = 4, b = −E/2 = −3
r² = 16 + 9 + 11 = 36 → r = 6
Cevap: A
Soru 2 (Çoktan Seçmeli)
Merkezi M(2, −5) olan ve y eksenine teğet olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (x − 2)² + (y + 5)² = 4
B) (x − 2)² + (y + 5)² = 25
C) (x + 2)² + (y − 5)² = 4
D) (x − 2)² + (y + 5)² = 5
E) (x − 2)² + (y − 5)² = 4
Çözüm:
Çember y eksenine teğet ise yarıçap, merkezin y eksenine uzaklığına eşittir: r = |a| = |2| = 2.
Denklem: (x − 2)² + (y + 5)² = 4
Cevap: A
Soru 3 (Çoktan Seçmeli)
x² + y² = 50 çemberinin (5, −5) noktasındaki teğet doğrunun denklemi nedir?
A) x − y = 10
B) x + y = 10
C) x − y = 0
D) 5x − 5y = 25
E) x − y − 10 = 0
Çözüm:
Merkezi orijinde olan çember için teğet formülü: x₀·x + y₀·y = r²
5x + (−5)y = 50 → 5x − 5y = 50 → x − y = 10
Cevap: A
Soru 4 (Çoktan Seçmeli)
(x − 1)² + (y − 2)² = 16 ve (x − 9)² + (y − 8)² = 4 çemberlerinin birbirine göre durumu nedir?
A) Birbirinin içinde
B) İçten teğet
C) İki noktada kesişir
D) Dıştan teğet
E) Birbirinin dışında
Çözüm:
M₁(1, 2), r₁ = 4; M₂(9, 8), r₂ = 2
d = √[(9−1)² + (8−2)²] = √[64 + 36] = √100 = 10
r₁ + r₂ = 6, |r₁ − r₂| = 2
d = 10 > 6 = r₁ + r₂ → Çemberler birbirinin dışındadır.
Cevap: E
Soru 5 (Çoktan Seçmeli)
P(7, 1) noktasından (x − 3)² + (y + 2)² = 9 çemberine çizilen teğet parçasının uzunluğu kaç birimdir?
A) 4
B) 5
C) 3
D) √34
E) √7
Çözüm:
Merkez M(3, −2), r = 3
|MP| = √[(7−3)² + (1+2)²] = √[16 + 9] = √25 = 5
|PT| = √(|MP|² − r²) = √(25 − 9) = √16 = 4
Cevap: A
Soru 6 (Çoktan Seçmeli)
x² + y² = 18 çemberine eğimi −1 olan teğet doğruların denklemleri nedir?
A) y = −x ± 3
B) y = −x ± 6
C) y = −x ± 36
D) y = −x ± 9
E) y = −x ± √18
Çözüm:
y = mx ± r√(1 + m²) formülünden: m = −1, r² = 18
y = −x ± √18 · √(1 + 1) = −x ± √18 · √2 = −x ± √36 = −x ± 6
Cevap: B
Soru 7 (Açık Uçlu)
Uç noktaları A(−2, 4) ve B(6, −2) olan çapın ait olduğu çemberin denklemini bulunuz.
Çözüm:
Çapın orta noktası merkezi verir: M = ((−2+6)/2, (4+(−2))/2) = (2, 1)
Çap uzunluğu: |AB| = √[(6+2)² + (−2−4)²] = √[64 + 36] = √100 = 10
r = 10/2 = 5
Çember denklemi: (x − 2)² + (y − 1)² = 25
Soru 8 (Açık Uçlu)
x² + y² − 2x + 4y − 20 = 0 çemberinin x eksenini kestiği noktaları ve x ekseni üzerindeki kiriş uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
y = 0 yazalım: x² − 2x − 20 = 0
Δ = 4 + 80 = 84 → x = (2 ± √84) / 2 = 1 ± √21
Kesim noktaları: (1 + √21, 0) ve (1 − √21, 0)
Kiriş uzunluğu = |(1 + √21) − (1 − √21)| = 2√21 ≈ 9,17 birim
Soru 9 (Açık Uçlu)
x² + y² − 6x + 2y + 6 = 0 ve x² + y² − 2x − 4y − 4 = 0 çemberlerinin kesim doğrusunun denklemini bulunuz.
Çözüm:
Birinci denklemden ikinciyi çıkaralım:
(−6 − (−2))x + (2 − (−4))y + (6 − (−4)) = 0
−4x + 6y + 10 = 0
2x − 3y − 5 = 0
Kesim doğrusu: 2x − 3y − 5 = 0
Soru 10 (Açık Uçlu)
Merkezi doğru y = 2x − 1 üzerinde olan, x eksenine ve y eksenine aynı anda teğet olan ve yarıçapı pozitif olan çemberlerin denklemlerini bulunuz.
Çözüm:
Her iki eksene teğet olan çemberlerde |a| = |b| = r olmalıdır. İki durum inceleyelim:
Durum 1: a = b = r (birinci bölgedeki çember). Merkez y = 2x − 1 üzerinde: b = 2a − 1 → a = 2a − 1 → a = 1. Dolayısıyla a = b = r = 1.
Denklem: (x − 1)² + (y − 1)² = 1
Durum 2: a = −b, yani a = r, b = −r. Merkez doğru üzerinde: −r = 2r − 1 → −3r = −1 → r = 1/3.
a = 1/3, b = −1/3.
Denklem: (x − 1/3)² + (y + 1/3)² = 1/9
Durum 3: a = −r, b = r. Merkez doğru üzerinde: r = 2(−r) − 1 → r = −2r − 1 → 3r = −1 → r = −1/3 (geçersiz, r > 0).
Durum 4: a = −r, b = −r. Merkez doğru üzerinde: −r = 2(−r) − 1 → −r = −2r − 1 → r = −1 (geçersiz).
Sonuç: (x − 1)² + (y − 1)² = 1 ve (x − 1/3)² + (y + 1/3)² = 1/9
Çalışma Kağıdı
12. Sınıf Matematik – Çemberin Analitik İncelenmesi Çalışma Kağıdı
Ad Soyad: ______________________________ Tarih: ___/___/______ Sınıf/No: ____________
Etkinlik 1 – Boşluk Doldurma
Aşağıdaki cümlelerdeki boşlukları uygun ifadelerle doldurunuz.
1. Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan çemberin standart denklemi ________________________ şeklindedir.
2. x² + y² + Dx + Ey + F = 0 genel denkleminde merkez koordinatları a = ________ ve b = ________ olarak bulunur.
3. Bir P noktasının çembere göre kuvveti K < 0 ise P noktası çemberin ________________ dadır.
4. Çemberin dışındaki bir noktadan çembere ________ tane teğet doğru çizilebilir.
5. İki çember dıştan teğet ise merkezler arası uzaklık d = ________________ dir.
6. x² + y² = r² çemberinin (x₀, y₀) noktasındaki teğet doğrunun denklemi ________________________ dir.
7. İki çemberin ortak kiriş doğrusunu bulmak için iki çember denklemi ________________ işlemine tabi tutulur.
8. Bir çember hem x hem y eksenine teğet ise ________ = ________ = r eşitliği sağlanır.
Etkinlik 2 – Eşleştirme
Sol sütundaki ifadeyi sağ sütundaki uygun karşılığıyla eşleştiriniz.
a) d > r₁ + r₂ ( ) İki noktada kesişir
b) d = r₁ + r₂ ( ) İç içe
c) |r₁ − r₂| < d < r₁ + r₂ ( ) Dıştan teğet
d) d = |r₁ − r₂| ( ) Birbirinin dışında
e) d < |r₁ − r₂| ( ) İçten teğet
Etkinlik 3 – Merkez ve Yarıçap Bulma Tablosu
Aşağıdaki çember denklemlerinin merkez ve yarıçap değerlerini tablodaki boşluklara yazınız.
| Denklem | Merkez (a, b) | Yarıçap (r) |
|------------------------------------------|----------------|-------------|
| x² + y² − 12x + 4y + 15 = 0 | | |
| x² + y² + 6x − 10y + 9 = 0 | | |
| (x + 4)² + (y − 7)² = 49 | | |
| x² + y² = 81 | | |
| 2x² + 2y² − 8x + 12y − 6 = 0 | | |
Etkinlik 4 – Noktanın Çembere Göre Durumu
x² + y² − 8x + 2y + 8 = 0 çemberine göre aşağıdaki noktaların konumunu belirleyiniz.
a) A(1, 1) K = ________ Durum: _____________
b) B(4, −1) K = ________ Durum: _____________
c) C(6, 0) K = ________ Durum: _____________
d) D(2, −3) K = ________ Durum: _____________
Etkinlik 5 – Teğet Doğru Problemleri
Aşağıdaki soruları ayrıntılı çözümüyle birlikte cevaplayınız.
5.1. x² + y² = 13 çemberinin (2, 3) noktasındaki teğet doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm alanı:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
5.2. (x − 2)² + (y + 1)² = 25 çemberine P(8, 7) noktasından çizilen teğet parçasının uzunluğunu bulunuz.
Çözüm alanı:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
5.3. x² + y² = 5 çemberine eğimi 2 olan teğet doğruların denklemlerini bulunuz.
Çözüm alanı:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Etkinlik 6 – İki Çemberin Durumu
Aşağıdaki çember çiftleri için merkezler arası uzaklığı hesaplayarak durumlarını belirleyiniz.
6.1. C₁: (x − 1)² + (y − 2)² = 9 ve C₂: (x − 7)² + (y − 10)² = 1
d = _________ r₁ + r₂ = _________ |r₁ − r₂| = _________ Durum: _____________
6.2. C₁: x² + y² = 16 ve C₂: (x − 3)² + y² = 1
d = _________ r₁ + r₂ = _________ |r₁ − r₂| = _________ Durum: _____________
6.3. C₁: (x + 2)² + (y − 1)² = 4 ve C₂: (x − 4)² + (y − 1)² = 16
d = _________ r₁ + r₂ = _________ |r₁ − r₂| = _________ Durum: _____________
Etkinlik 7 – Çember Denklemi Kurma
Aşağıdaki koşulları sağlayan çemberlerin denklemlerini bulunuz.
7.1. Merkezi (−3, 5) olan ve (1, 2) noktasından geçen çemberin denklemi:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
7.2. Merkezi y = x doğrusu üzerinde olan, yarıçapı 5 olan ve (1, 8) noktasından geçen çemberin denklemi:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
7.3. A(0, 0), B(6, 0) ve C(0, 8) noktalarından geçen çemberin denklemi:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Etkinlik 8 – Doğru ve Çember İlişkisi
Aşağıdaki doğru ve çember çiftleri için ilişkiyi belirleyiniz (teğet, sekant, dış).
8.1. x² + y² = 25 ve 3x + 4y = 25
d = _________ r = _________ Durum: _____________
8.2. (x − 1)² + (y − 2)² = 4 ve y = x + 5
d = _________ r = _________ Durum: _____________
8.3. x² + y² = 10 ve y = 3x
d = _________ r = _________ Durum: _____________
Etkinlik 9 – Doğru/Yanlış
Aşağıdaki ifadelerin doğru (D) veya yanlış (Y) olduğunu belirtiniz.
( ) 1. Her çemberin genel denkleminde x² ve y² katsayıları eşittir.
( ) 2. Çemberin yarıçapı negatif olabilir.
( ) 3. Çember dışındaki bir noktanın kuvveti pozitiftir.
( ) 4. İki çember en fazla 4 ortak teğete sahip olabilir.
( ) 5. Çemberin üzerindeki bir noktanın kuvveti sıfırdır.
( ) 6. x² + y² + Dx + Ey + F = 0 ifadesi her zaman bir çemberi temsil eder.
( ) 7. Orijinden geçen çemberin genel denkleminde F = 0 dır.
( ) 8. İçten teğet iki çemberin 2 ortak teğeti vardır.
Cevap Anahtarı (Öğretmen İçin)
Etkinlik 1: 1) (x−a)²+(y−b)²=r² 2) a=−D/2, b=−E/2 3) içinde 4) 2 5) r₁+r₂ 6) x₀x+y₀y=r² 7) çıkarma 8) |a|=|b|=r
Etkinlik 2: a→Birbirinin dışında, b→Dıştan teğet, c→İki noktada kesişir, d→İçten teğet, e→İç içe
Etkinlik 3: (6,−2) r=5; (−3,5) r=5; (−4,7) r=7; (0,0) r=9; (2,−3) r=4
Etkinlik 4: Merkez(4,−1), r²=9, r=3. a) K=1+1−8+2+8=4>0 dış b) K=16+1−32−2+8=−9<0 iç c) K=36+0−48+0+8=−4<0 iç d) K=4+9−16−6+8=−1<0 iç
Etkinlik 5: 5.1) 2x+3y=13 5.2) |MP|=√(36+64)=10, |PT|=√(100−25)=√75=5√3 5.3) y=2x±5
Etkinlik 6: 6.1) d=10, r₁+r₂=4, dışında 6.2) d=3, r₁+r₂=5, |r₁−r₂|=3, içten teğet 6.3) d=6, r₁+r₂=6, dıştan teğet
Etkinlik 7: 7.1) r²=16+9=25, (x+3)²+(y−5)²=25 7.2) Merkez (a,a), (a−1)²+(a−8)²=25 → a=4, (x−4)²+(y−4)²=25 7.3) x²+y²−6x−8y=0
Etkinlik 8: 8.1) d=5, r=5, teğet 8.2) d=|1−2+5|/√2=4/√2=2√2, r=2, dış 8.3) d=0, r=√10, sekant
Etkinlik 9: 1-D, 2-Y, 3-D, 4-D, 5-D, 6-Y, 7-D, 8-Y
Sıkça Sorulan Sorular
12. Sınıf Matematik müfredatı 2025-2026 yılında kaç ünite?
2025-2026 müfredatına göre 12. sınıf matematik dersi birden fazla üniteden oluşmaktadır. Sayfadaki ünite listesinden güncel bilgiye ulaşabilirsiniz.
12. sınıf Çemberin analitik İncelenmesi konuları hangi dönemlerde işleniyor?
12. sınıf matematik dersi konuları 1. dönem ve 2. dönem olarak iki yarıyılda işlenmektedir. Her ünitenin tahmini süre bilgisi Millî Eğitim Bakanlığı'nın haftalık ders planlarında yer almaktadır.
12. sınıf matematik müfredatı ne zaman güncellendi?
Gösterilen içerik 2025-2026 eğitim-öğretim yılı için güncellenmiştir. Millî Eğitim Bakanlığı'nın resmi sitesinde yayımlanan müfredat dokümanları esas alınmıştır.