Üçgenlerde eşlik ve benzerlik koşulları
Konu Anlatımı
8. Sınıf Matematik Eşlik ve Benzerlik Konu Anlatımı
Bu yazımızda 8. Sınıf Matematik Eşlik ve Benzerlik konusunu en ayrıntılı şekilde ele alacağız. Üçgenlerde eşlik ve benzerlik kavramları, LGS sınavında sıkça karşılaşılan konular arasında yer almaktadır. Konuyu tam olarak anlamak, geometri sorularında başarıyı doğrudan etkiler. Şimdi adım adım ilerleyelim.
Eşlik Kavramı Nedir?
Geometride eşlik, iki şeklin biçim ve boyut olarak tamamen aynı olması anlamına gelir. İki üçgen eş ise bu üçgenlerin karşılıklı kenarları eşit uzunlukta, karşılıklı açıları da eşit ölçüdedir. Eş üçgenler birebir örtüşebilen üçgenlerdir; birini kesip diğerinin üzerine koyduğunuzda tam olarak çakışırlar.
Günlük hayattan bir örnek vermek gerekirse, aynı kalıptan çıkmış iki bisküvi düşünün. Boyutları, şekilleri tamamen aynıdır. İşte üçgenlerde eşlik de buna benzer. İki üçgenin eş olduğunu söyleyebilmek için tüm kenar ve açı ölçülerinin birebir eşleşmesi gerekir.
Eş üçgenler "≅" sembolü ile gösterilir. Örneğin ABC üçgeni ile DEF üçgeni eş ise bunu △ABC ≅ △DEF şeklinde yazarız. Bu gösterimde harflerin sırası çok önemlidir çünkü karşılıklı köşeleri belirtir: A ile D, B ile E, C ile F karşılıklı köşelerdir.
Eş Üçgenlerin Özellikleri
Eş üçgenlerde aşağıdaki özellikler her zaman geçerlidir:
- Karşılıklı kenarlar eşittir: |AB| = |DE|, |BC| = |EF|, |AC| = |DF| şeklinde her bir kenarın karşılığı eşit uzunluktadır.
- Karşılıklı açılar eşittir: m(A) = m(D), m(B) = m(E), m(C) = m(F) şeklinde her bir açının karşılığı eşit ölçüdedir.
- Çevreleri eşittir: Kenarlar eşit olduğundan çevre uzunlukları da birebir aynıdır.
- Alanları eşittir: Biçim ve boyut tamamen aynı olduğundan alan ölçüleri de eşittir.
- Yükseklikleri, kenarortayları ve açıortayları eşittir: Karşılıklı elemanlara ait tüm yardımcı uzunluklar da birbirine eşittir.
Üçgenlerde Eşlik Koşulları (Postülatları)
8. Sınıf Matematik Eşlik ve Benzerlik konusunun en kritik kısmı, iki üçgenin eş olduğunu kanıtlamak için kullanılan eşlik koşullarıdır. Tüm kenar ve açıları tek tek ölçmemize gerek kalmadan, belirli kombinasyonlar yeterlidir. Bu koşullar şunlardır:
1. K-A-K (Kenar-Açı-Kenar) Eşlik Koşulu
İki üçgenin birer kenarı ve bu kenarların arasındaki açı sırasıyla eşit ise üçgenler eştir. Burada dikkat edilmesi gereken nokta, açının mutlaka iki kenarın "arasındaki" açı olması gerektiğidir.
Örnek: △ABC ve △DEF üçgenlerinde |AB| = |DE| = 5 cm, |BC| = |EF| = 7 cm ve m(B) = m(E) = 60° ise K-A-K koşuluna göre △ABC ≅ △DEF dir.
Bu koşulu şöyle düşünebilirsiniz: İki kenarın uzunluğunu ve aralarındaki açıyı bildiğinizde, üçüncü kenarın nereye geleceği zaten otomatik olarak belirlenir. Dolayısıyla üçgenin geri kalanı da sabitlenir.
2. A-K-A (Açı-Kenar-Açı) Eşlik Koşulu
İki üçgenin birer kenarı ve bu kenara bitişik iki açı sırasıyla eşit ise üçgenler eştir. Yani bir kenar ve o kenarın her iki ucundaki açılar eşleşiyorsa eşlik sağlanır.
Örnek: △KLM ve △PRS üçgenlerinde |KL| = |PR| = 8 cm, m(K) = m(P) = 45° ve m(L) = m(R) = 70° ise A-K-A koşuluna göre △KLM ≅ △PRS dir.
Bu durumda iki açı ve aralarındaki kenar belirlendiğinde, üçüncü açı da (üçgende açılar toplamı 180° olduğundan) otomatik olarak belirlenir ve üçgen tamamen tanımlanmış olur.
3. K-K-K (Kenar-Kenar-Kenar) Eşlik Koşulu
İki üçgenin üç kenarı sırasıyla eşit ise bu üçgenler eştir. Üç kenarı bilmek, üçgenin biçimini tamamen belirler.
Örnek: △ABC üçgeninde |AB| = 4 cm, |BC| = 6 cm, |AC| = 5 cm ve △DEF üçgeninde |DE| = 4 cm, |EF| = 6 cm, |DF| = 5 cm ise K-K-K koşuluna göre △ABC ≅ △DEF dir.
Üç kenar uzunluğu verildiğinde yalnızca bir tek üçgen çizilebilir (üçgen eşitsizliği sağlandığı sürece). Bu yüzden kenarları aynı olan iki üçgen mutlaka eştir.
4. K-K-A (Kenar-Kenar-Açı) Durumu — Özel Not
İki kenar ve bu kenarlardan büyük olanın karşısındaki açı eşitse üçgenler eş olabilir. Ancak bu koşul her zaman tek bir üçgen belirlemeyebilir, bu nedenle dikkatli olunmalıdır. Müfredatta genellikle K-A-K, A-K-A ve K-K-K koşulları ön plandadır.
Eşlik Koşullarını Kullanırken Dikkat Edilmesi Gerekenler
Eşlik koşullarını uygularken köşelerin doğru eşleştirilmesi çok önemlidir. Karşılıklı kenarları ve açıları belirlerken üçgenlerin yazılış sırasına dikkat etmelisiniz. Örneğin △ABC ≅ △DEF yazıldığında A-D, B-E, C-F köşeleri karşılıklıdır. Yanlış eşleştirme yaparsanız yanlış sonuçlara ulaşırsınız.
Ayrıca bir üçgende iki açı verildiğinde üçüncü açıyı kolayca bulabilirsiniz (180° kuralı). Bu sayede A-K-A koşulunu uygulayabilmek için bazen önce eksik açıyı hesaplamanız gerekebilir.
Benzerlik Kavramı Nedir?
8. Sınıf Matematik Eşlik ve Benzerlik konusunun ikinci temel ayağı olan benzerlik, iki şeklin aynı biçimde fakat farklı boyutlarda olması durumudur. Benzer üçgenlerde açılar eşit, kenarlar ise orantılıdır.
Bunu şöyle düşünebilirsiniz: Bir fotoğrafı büyütüp küçülttüğünüzde şekiller değişmez ama boyutlar değişir. İşte benzerlik de budur. Bir üçgeni orantılı şekilde büyütür veya küçültürseniz, elde ettiğiniz yeni üçgen orijinaline "benzer"dir.
Benzer üçgenler "∼" sembolü ile gösterilir. Örneğin △ABC ∼ △DEF yazıldığında bu iki üçgenin benzer olduğu ifade edilir.
Benzer Üçgenlerin Özellikleri
Benzer üçgenlerde şu özellikler geçerlidir:
- Karşılıklı açılar eşittir: m(A) = m(D), m(B) = m(E), m(C) = m(F).
- Karşılıklı kenarlar orantılıdır: |AB|/|DE| = |BC|/|EF| = |AC|/|DF| = k (benzerlik oranı).
- Çevre oranı, benzerlik oranına eşittir: Çevre₁/Çevre₂ = k.
- Alan oranı, benzerlik oranının karesine eşittir: Alan₁/Alan₂ = k².
- Yükseklik, kenarortay ve açıortay oranları da benzerlik oranına eşittir.
Benzerlik oranı "k" ile gösterilir. Eğer k = 1 ise üçgenler hem benzer hem de eştir. Yani eşlik, benzerliğin özel bir hâlidir.
Üçgenlerde Benzerlik Koşulları
İki üçgenin benzer olduğunu kanıtlamak için aşağıdaki koşullardan birinin sağlanması yeterlidir:
1. A-A (Açı-Açı) Benzerlik Koşulu
İki üçgenin iki açısı sırasıyla eşit ise bu üçgenler benzerdir. Üçüncü açı zaten otomatik olarak eşit olacaktır (açılar toplamı 180°). Bu, en sık kullanılan ve en pratik benzerlik koşuludur.
Örnek: △ABC üçgeninde m(A) = 50° ve m(B) = 70° olsun. △DEF üçgeninde m(D) = 50° ve m(E) = 70° olsun. Her iki üçgende de üçüncü açı 180° - 50° - 70° = 60° olur. A-A koşuluna göre △ABC ∼ △DEF dir.
2. K-A-K (Kenar-Açı-Kenar) Benzerlik Koşulu
İki üçgenin ikişer kenarı orantılı ve bu kenarların arasındaki açılar eşit ise üçgenler benzerdir. Dikkat edin, burada kenarların eşit olması değil, orantılı olması yeterlidir.
Örnek: △ABC üçgeninde |AB| = 4 cm, |BC| = 6 cm, m(B) = 80° ve △DEF üçgeninde |DE| = 8 cm, |EF| = 12 cm, m(E) = 80° ise kenarlar 4/8 = 6/12 = 1/2 oranında orantılıdır ve aradaki açılar eşittir. K-A-K benzerlik koşuluna göre △ABC ∼ △DEF dir ve benzerlik oranı k = 1/2 dir.
3. K-K-K (Kenar-Kenar-Kenar) Benzerlik Koşulu
İki üçgenin üç kenarı sırasıyla orantılı ise bu üçgenler benzerdir.
Örnek: △ABC üçgeninde kenarlar 3, 4, 5 cm ve △DEF üçgeninde kenarlar 6, 8, 10 cm ise 3/6 = 4/8 = 5/10 = 1/2 orantısı sağlanır. K-K-K koşuluna göre △ABC ∼ △DEF dir.
Benzerlik Oranı ve Uygulamaları
Benzerlik oranı (k), benzer üçgenlerin karşılıklı kenarlarının oranıdır. Bu oran tüm karşılıklı kenar çiftleri için aynıdır. Benzerlik oranını kullanarak bilinmeyen kenar uzunluklarını bulabiliriz.
Örnek: △ABC ∼ △DEF olsun. |AB| = 6 cm, |DE| = 9 cm ve |BC| = 8 cm ise |EF| kaç cm dir?
Benzerlik oranı: k = |AB|/|DE| = 6/9 = 2/3. Aynı oranı kullanarak: |BC|/|EF| = 2/3 → 8/|EF| = 2/3 → |EF| = 8 × 3/2 = 12 cm bulunur.
Alan ve Çevre İlişkisi
Benzer üçgenlerde çevre oranı benzerlik oranına eşittir. Yani kenarlar k oranında büyüyorsa çevre de k oranında büyür. Alan oranı ise benzerlik oranının karesidir (k²). Bu, sınavlarda çok sık sorulan bir özelliktir.
Örnek: İki benzer üçgenin benzerlik oranı k = 3 ise çevre oranı 3, alan oranı ise 3² = 9 dur. Küçük üçgenin alanı 5 cm² ise büyük üçgenin alanı 5 × 9 = 45 cm² dir.
Eşlik ile Benzerlik Arasındaki Farklar
Eşlik ve benzerlik kavramları birbiriyle ilişkili olsa da aralarında temel farklar vardır. Eş üçgenlerde hem biçim hem boyut aynıdır; kenarlar eşittir. Benzer üçgenlerde ise biçim aynıdır fakat boyut farklı olabilir; kenarlar orantılıdır. Eşlik durumunda benzerlik oranı k = 1 dir. Bu nedenle her eş üçgen çifti aynı zamanda benzerdir, ancak her benzer üçgen çifti eş değildir.
Eşlikte karşılıklı kenarlar arasında "eşitlik" varken benzerlikte "orantı" vardır. Eşlikte alan ve çevre tamamen aynıdır; benzerlikte çevre oranı k, alan oranı k² kadardır.
Üçgenlerde Benzerlik ile İlgili Önemli Teoremler
Temel Benzerlik Teoremi: Bir üçgenin bir kenarına paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı (veya uzantılarını) orantılı olarak böler. Bu teorem, benzerlik sorularının büyük çoğunluğunun temelini oluşturur.
Örnek: △ABC üçgeninde BC kenarına paralel olan DE doğru parçası, AB kenarını D noktasında, AC kenarını E noktasında kessin. Bu durumda △ADE ∼ △ABC olur ve |AD|/|AB| = |AE|/|AC| = |DE|/|BC| orantısı sağlanır.
Bu teoremi uygulamada sıklıkla karşılaşırsınız. Bir üçgenin içine çizilen ve bir kenara paralel olan doğru parçası, küçük bir benzer üçgen oluşturur. Bu küçük üçgen ile büyük üçgen arasındaki orantıları kullanarak bilinmeyen uzunlukları hesaplayabilirsiniz.
Açı-Kenar İlişkileri ve Benzerlik
Üçgenlerde açıların eşitliği, benzerlik için çok güçlü bir göstergedir. Özellikle iki üçgende ortak açı veya ters açı gibi durumlar varsa, benzerlik koşullarını sağlamak kolaylaşır. Paralel doğrular yardımıyla oluşan yöndeş açılar veya iç ters açılar da benzerlik ispatlarında sıkça kullanılır.
Bir üçgende açıortay çizildiğinde, açıortay teoremi devreye girer. Açıortay karşı kenarı, komşu kenarlar oranında böler. Bu özellik benzerlik problemleriyle birlikte sorulabilir.
LGS ve Sınavlarda Eşlik ve Benzerlik
8. Sınıf Matematik Eşlik ve Benzerlik konusu, LGS sınavlarında düzenli olarak soru gelen konulardan biridir. Genellikle bir veya iki soru bu konudan çıkmaktadır. Sorular çoğunlukla benzerlik oranı kullanarak kenar bulma, alan oranı hesaplama veya paralel doğrularla oluşan benzer üçgenlerdeki orantıları kullanma şeklindedir.
Sınavda başarılı olabilmek için şu noktalara dikkat etmelisiniz: Benzerlik oranını doğru belirlemeyi, karşılıklı kenarları doğru eşleştirmeyi, alan oranı ile kenar oranı arasındaki farkı bilmeyi ve paralel kenar durumlarında oluşan benzer üçgenleri fark etmeyi iyi öğrenin.
Pratik Yöntemler ve İpuçları
Eşlik ve benzerlik problemlerini çözerken işinize yarayacak bazı pratik ipuçları şunlardır:
- Şekil çizin: Verilen bilgileri şekil üzerinde göstermek, çözümü kolaylaştırır. Eş veya benzer üçgenleri ayrı ayrı çizin.
- Karşılıklı köşeleri belirleyin: Hangi köşelerin birbirine karşılık geldiğini tespit edin. Eşit açılar karşılıklı köşeleri gösterir.
- Orantı kurun: Benzerlik sorularında karşılıklı kenarlarla orantı kurun ve çapraz çarpma ile bilinmeyeni bulun.
- Alan sorusu mu kontrol edin: Eğer alan soruluyorsa, benzerlik oranının karesini kullanmayı unutmayın.
- Paralel doğruları arayın: Paralel doğrular genellikle benzerlik oluşturur; yöndeş ve ters açıları kontrol edin.
Örnek Problemler ve Çözümleri
Örnek 1: △ABC üçgeninde DE // BC olsun. |AD| = 4 cm, |DB| = 6 cm ve |BC| = 15 cm ise |DE| kaç cm dir?
Çözüm: DE // BC olduğundan △ADE ∼ △ABC dir. Benzerlik oranı: |AD|/|AB| = 4/(4+6) = 4/10 = 2/5. Bu oranı kullanarak: |DE|/|BC| = 2/5 → |DE|/15 = 2/5 → |DE| = 15 × 2/5 = 6 cm.
Örnek 2: İki benzer üçgenin kenarları arasındaki benzerlik oranı 2/3 tür. Büyük üçgenin çevresi 36 cm ise küçük üçgenin çevresi kaç cm dir?
Çözüm: Çevre oranı = benzerlik oranı = 2/3. Küçük üçgenin çevresi / 36 = 2/3 → Küçük çevre = 36 × 2/3 = 24 cm.
Örnek 3: Benzer iki üçgenden birinin alanı 18 cm², diğerinin alanı 50 cm² dir. Benzerlik oranını bulunuz.
Çözüm: Alan oranı = k² → 18/50 = k² → k² = 9/25 → k = 3/5. Benzerlik oranı 3/5 tir.
Örnek 4: △ABC ve △DEF eş üçgenlerdir. |AB| = 3x + 1, |DE| = 2x + 5 ise x kaçtır?
Çözüm: Eş üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşittir: 3x + 1 = 2x + 5 → x = 4.
Konuyu Pekiştirme Stratejileri
Eşlik ve benzerlik konusunu tam olarak öğrenmek için düzenli pratik yapmanız gerekir. Her gün en az 5-10 soru çözmeye çalışın. Farklı kaynaklardan soru çözmek, farklı soru tiplerine alışmanızı sağlar. Çözemediğiniz soruları not alın ve çözümlerini inceledikten sonra birkaç gün sonra tekrar deneyin.
Arkadaşlarınızla birlikte çalışmak da faydalı olabilir. Birbirinize soru sorarak hem anlatma hem de çözme pratiği yaparsınız. Ayrıca konuyu birine anlatmak, o konuyu gerçekten anlayıp anlamadığınızı test etmenin en iyi yollarından biridir.
Sık Yapılan Hatalar
Öğrencilerin eşlik ve benzerlik konusunda en sık yaptığı hatalar şunlardır:
- Karşılıklı kenarları yanlış eşleştirme: Benzerlik orantısı kurarken kenarların karşılıklı olmasına dikkat etmelisiniz. Büyük kenarla büyük kenar, küçük kenarla küçük kenar eşleşmelidir.
- Alan oranını kenar oranıyla karıştırma: Alan oranı k², çevre oranı k dir. Bu fark sınavda kritik hatalara yol açabilir.
- Eşlik koşullarını benzerlikle karıştırma: Eşlikte kenarlar eşit, benzerlikte orantılıdır. Koşulları karıştırmamaya özen gösterin.
- A-A-A diye bir eşlik koşulu yoktur: Üç açısı eşit olan üçgenler eş olmak zorunda değildir, sadece benzerdir. Bu çok önemli bir ayrımdır.
Özet ve Son Tekrar
8. Sınıf Matematik Eşlik ve Benzerlik konusunu özetlersek: Eşlik, üçgenlerin biçim ve boyut olarak aynı olmasıdır ve K-A-K, A-K-A, K-K-K koşullarıyla ispatlanır. Benzerlik ise biçimin aynı, boyutun farklı olmasıdır ve A-A, K-A-K (orantı), K-K-K (orantı) koşullarıyla ispatlanır. Benzerlik oranı k olmak üzere çevre oranı k, alan oranı k² dir. Eşlik, benzerliğin k = 1 olduğu özel hâlidir.
Bu konuyu iyi öğrenmek, geometride sağlam bir temel oluşturmanızı sağlayacaktır. Bol bol soru çözerek ve yukarıdaki kuralları uygulayarak bu konuda ustalaşabilirsiniz. Başarılar dileriz!
Örnek Sorular
8. Sınıf Matematik Eşlik ve Benzerlik Çözümlü Sorular
Aşağıda 8. Sınıf Matematik Eşlik ve Benzerlik konusuna ait 10 adet çözümlü soru bulunmaktadır. Bu sorular çoktan seçmeli ve açık uçlu olarak hazırlanmıştır. Her sorunun detaylı çözümü verilmiştir.
Soru 1 (Çoktan Seçmeli)
△ABC ∼ △DEF olup |AB| = 6 cm, |DE| = 9 cm ve |BC| = 10 cm ise |EF| kaç cm dir?
A) 12 B) 15 C) 18 D) 20
Çözüm: Benzerlik oranı k = |AB|/|DE| = 6/9 = 2/3. Aynı oranı uygularsak: |BC|/|EF| = 2/3 → 10/|EF| = 2/3 → |EF| = 10 × 3/2 = 15 cm.
Cevap: B
Soru 2 (Çoktan Seçmeli)
İki benzer üçgenin benzerlik oranı 3/5 tir. Küçük üçgenin alanı 27 cm² ise büyük üçgenin alanı kaç cm² dir?
A) 45 B) 60 C) 75 D) 135
Çözüm: Alan oranı = k² = (3/5)² = 9/25. Küçük alan / Büyük alan = 9/25 → 27/Büyük alan = 9/25 → Büyük alan = 27 × 25/9 = 75 cm².
Cevap: C
Soru 3 (Çoktan Seçmeli)
△ABC üçgeninde DE // BC olup |AD| = 3 cm, |DB| = 5 cm ve |AE| = 4,5 cm ise |EC| kaç cm dir?
A) 6,5 B) 7 C) 7,5 D) 8
Çözüm: DE // BC olduğundan △ADE ∼ △ABC. Temel orantı: |AD|/|DB| = |AE|/|EC| → 3/5 = 4,5/|EC| → |EC| = 4,5 × 5/3 = 7,5 cm.
Cevap: C
Soru 4 (Çoktan Seçmeli)
△KLM ≅ △PRS ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) |KL| = |RS| B) m(K) = m(R) C) |LM| = |RS| D) m(L) = m(R)
Çözüm: △KLM ≅ △PRS yazılışına göre karşılıklı köşeler: K-P, L-R, M-S. Dolayısıyla m(L) = m(R) doğrudur. Diğer seçeneklerdeki eşleştirmeler yanlıştır.
Cevap: D
Soru 5 (Çoktan Seçmeli)
Benzer iki üçgenin çevreleri 24 cm ve 36 cm dir. Benzerlik oranı kaçtır?
A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4 D) 4/9
Çözüm: Çevre oranı = benzerlik oranı. k = 24/36 = 2/3.
Cevap: B
Soru 6 (Açık Uçlu)
△ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |BC| = 12 cm, |AC| = 10 cm dir. △DEF üçgeninde |DE| = 16 cm, |EF| = 24 cm, |DF| = 20 cm dir. Bu iki üçgen benzer midir? Eş midir? Açıklayınız.
Çözüm: Karşılıklı kenarların oranlarını kontrol edelim: |AB|/|DE| = 8/16 = 1/2, |BC|/|EF| = 12/24 = 1/2, |AC|/|DF| = 10/20 = 1/2. Üç oran da eşit olduğundan K-K-K benzerlik koşuluna göre △ABC ∼ △DEF dir ve benzerlik oranı k = 1/2 dir. Kenarlar eşit değil orantılı olduğundan bu üçgenler eş değildir, sadece benzerdir.
Soru 7 (Açık Uçlu)
İki benzer üçgenin alanları 16 cm² ve 64 cm² dir. Küçük üçgenin bir kenarı 5 cm ise bu kenara karşılık gelen büyük üçgenin kenarı kaç cm dir? Çözümünüzü ayrıntılı yazınız.
Çözüm: Alan oranı = k² → 16/64 = k² → k² = 1/4 → k = 1/2. Benzerlik oranı 1/2 dir. Karşılıklı kenar oranı: küçük kenar / büyük kenar = 1/2 → 5/büyük kenar = 1/2 → büyük kenar = 10 cm.
Soru 8 (Açık Uçlu)
△ABC ≅ △DEF olup |AB| = 2x + 3, |DE| = x + 7 ve m(B) = 3y - 15, m(E) = 2y + 10 ise x ve y değerlerini bulunuz.
Çözüm: Eş üçgenlerde karşılıklı kenarlar ve açılar eşittir. |AB| = |DE| → 2x + 3 = x + 7 → x = 4. m(B) = m(E) → 3y - 15 = 2y + 10 → y = 25. Sonuç: x = 4, y = 25.
Soru 9 (Çoktan Seçmeli)
△ABC üçgeninde m(A) = 55°, m(B) = 65° dir. △DEF üçgeninde m(D) = 55°, m(F) = 60° dir. Bu üçgenler benzer midir?
A) Evet, A-A koşuluna göre benzerdir. B) Hayır, benzer değildir. C) Bilgi yetersizdir. D) Eştir.
Çözüm: △ABC de m(C) = 180° - 55° - 65° = 60°. △DEF de m(E) = 180° - 55° - 60° = 65°. △ABC açıları: 55°, 65°, 60°. △DEF açıları: 55°, 65°, 60°. Üç açı da eşleştiğinden A-A koşuluna göre benzerdir.
Cevap: A
Soru 10 (Açık Uçlu)
Bir ağacın gölgesi 12 m, aynı anda yerdeki 2 m boyundaki bir direğin gölgesi 3 m dir. Güneş ışınlarının her iki cisimle yaptığı açılar eşit olduğuna göre ağacın yüksekliği kaç metredir? Benzerlik kullanarak çözünüz.
Çözüm: Ağaç ve gölgesi ile direk ve gölgesi dik üçgenler oluşturur. Güneş açıları eşit ve her ikisinde de 90° açı olduğundan A-A benzerlik koşuluna göre bu iki üçgen benzerdir. Orantı: Ağaç yüksekliği / Direk yüksekliği = Ağaç gölgesi / Direk gölgesi → h/2 = 12/3 → h/2 = 4 → h = 8 m. Ağacın yüksekliği 8 metredir.
Çalışma Kağıdı
8. Sınıf Matematik Eşlik ve Benzerlik Çalışma Kağıdı
Ad Soyad: ______________________ Sınıf/No: __________ Tarih: __________
Bu çalışma kağıdı 8. Sınıf Matematik Eşlik ve Benzerlik konusunu pekiştirmeniz için hazırlanmıştır.
Etkinlik 1: Kavram Haritası — Boşlukları Doldurun
Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun kavramlarla doldurunuz.
1. İki üçgenin biçim ve boyut olarak tamamen aynı olmasına __________________ denir.
2. Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşit değil __________________ dır.
3. Eş üçgenler __________________ sembolü ile gösterilir.
4. Benzer üçgenlerde alan oranı, benzerlik oranının __________________ sine eşittir.
5. İki üçgenin ikişer açısı eşitse bu üçgenler __________________ koşuluna göre benzerdir.
6. K-A-K eşlik koşulunda açı, iki kenarın __________________ açısı olmalıdır.
7. Benzerlik oranı k = 1 ise üçgenler __________________ dir.
8. Benzer üçgenlerde çevre oranı __________________ oranına eşittir.
Etkinlik 2: Doğru mu Yanlış mı?
Aşağıdaki ifadelerin başına doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
( ) 1. Her eş üçgen çifti aynı zamanda benzerdir.
( ) 2. Her benzer üçgen çifti aynı zamanda eştir.
( ) 3. A-A-A bir eşlik koşuludur.
( ) 4. Eş üçgenlerin alanları eşittir.
( ) 5. Benzer üçgenlerde açılar orantılıdır.
( ) 6. K-K-K hem eşlik hem benzerlik koşulu olarak kullanılabilir.
( ) 7. Benzerlik oranı 3 ise alan oranı 6 dır.
( ) 8. Bir üçgenin bir kenarına paralel çizilen doğru benzer üçgenler oluşturur.
Etkinlik 3: Eşleştirme
Sol sütundaki ifadeleri sağ sütundaki uygun kavramla eşleştiriniz.
1. Kenarlar eşit ( ) a. Benzerlik oranı
2. Kenarlar orantılı ( ) b. Eşlik
3. k = karşılıklı kenar oranı ( ) c. k²
4. Alan oranı ( ) d. Benzerlik
5. A-A koşulu ( ) e. Benzerlik koşulu
Etkinlik 4: Problem Çözme
Problem 1: △ABC ∼ △DEF olup |AB| = 10 cm, |DE| = 15 cm ve |BC| = 8 cm dir. |EF| kaç cm dir? (Çözümünüzü aşağıda gösteriniz.)
Çözüm alanı:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Problem 2: İki benzer üçgenin benzerlik oranı 2/5 tir. Büyük üçgenin alanı 100 cm² ise küçük üçgenin alanı kaç cm² dir?
Çözüm alanı:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Problem 3: △ABC üçgeninde DE // BC olup |AD| = 3 cm, |DB| = 9 cm ve |BC| = 20 cm dir. |DE| kaç cm dir?
Çözüm alanı:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Problem 4: △PQR ≅ △XYZ olup |PQ| = 4a + 1 ve |XY| = 2a + 9 ise a kaçtır?
Çözüm alanı:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Problem 5: Benzer iki üçgenin çevreleri toplamı 90 cm, benzerlik oranı 2/3 tür. Her iki üçgenin çevresini ayrı ayrı bulunuz.
Çözüm alanı:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Etkinlik 5: Tablo Tamamlama
Aşağıdaki tabloda benzer üçgen çiftlerine ait bilgiler verilmiştir. Boş hücreleri doldurunuz.
| Benzerlik Oranı (k) | Çevre Oranı | Alan Oranı | Küçük Çevre (cm) | Büyük Çevre (cm) | Küçük Alan (cm²) | Büyük Alan (cm²) |
| 1/2 | _______ | _______ | 15 | _______ | 9 | _______ |
| 2/3 | _______ | _______ | _______ | 30 | _______ | 45 |
| 3/4 | _______ | _______ | 24 | _______ | _______ | 64 |
| _______ | 1/5 | _______ | 8 | _______ | 2 | _______ |
Etkinlik 6: Günlük Hayat Problemi
Ahmet parkta yürürken bir elektrik direğinin gölgesinin 10 metre olduğunu ölçtü. Kendi gölgesinin de 1,2 metre olduğunu gördü. Ahmet"in boyu 1,8 m ise elektrik direğinin yüksekliği kaç metredir? (Benzerlik kullanarak çözünüz ve çözümünüzü adım adım yazınız.)
Çözüm alanı:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Cevap Anahtarı
Etkinlik 1: 1. Eşlik 2. Orantılı 3. ≅ 4. Kare 5. A-A 6. Arasındaki 7. Eş 8. Benzerlik
Etkinlik 2: 1. D 2. Y 3. Y 4. D 5. Y (açılar eşittir, orantılı değil) 6. D 7. Y (alan oranı 9) 8. D
Etkinlik 3: 1-b 2-d 3-a 4-c 5-e
Etkinlik 4: Problem 1: |EF| = 12 cm Problem 2: 16 cm² Problem 3: |DE| = 5 cm Problem 4: a = 4 Problem 5: Küçük = 36 cm, Büyük = 54 cm
Etkinlik 5: Satır 1: 1/2, 1/4, 30, 36 Satır 2: 2/3, 4/9, 20, 20 Satır 3: 3/4, 9/16, 32, 36 Satır 4: 1/5, 1/25, 40, 50
Etkinlik 6: Boy/Gölge oranı: 1,8/1,2 = h/10 → h = 15 m
Sıkça Sorulan Sorular
8. Sınıf Matematik müfredatı 2025-2026 yılında kaç ünite?
2025-2026 müfredatına göre 8. sınıf matematik dersi birden fazla üniteden oluşmaktadır. Sayfadaki ünite listesinden güncel bilgiye ulaşabilirsiniz.
8. sınıf eşlik ve benzerlik konuları hangi dönemlerde işleniyor?
8. sınıf matematik dersi konuları 1. dönem ve 2. dönem olarak iki yarıyılda işlenmektedir. Her ünitenin tahmini süre bilgisi Millî Eğitim Bakanlığı'nın haftalık ders planlarında yer almaktadır.
8. sınıf matematik müfredatı ne zaman güncellendi?
Gösterilen içerik 2025-2026 eğitim-öğretim yılı için güncellenmiştir. Millî Eğitim Bakanlığı'nın resmi sitesinde yayımlanan müfredat dokümanları esas alınmıştır.