Doğruluk çizelgesi, tutarlılık, geçerlilik ve eşdeğerlik.
Konu Anlatımı
12. Sınıf Mantık Doğruluk Çizelgesi ve Tutarlılık
Sembolik mantık, günlük dildeki önermeleri sembollerle ifade ederek mantıksal çıkarımların doğruluğunu sistematik biçimde incelememizi sağlayan bir alandır. Bu konuda ele alacağımız doğruluk çizelgesi (doğruluk tablosu) ve tutarlılık kavramları, sembolik mantığın en temel araçları arasında yer alır. 12. Sınıf Mantık Doğruluk Çizelgesi ve Tutarlılık konusunu öğrenmek, hem üniversite sınavına hazırlık hem de analitik düşünme becerisi kazanmak açısından son derece önemlidir.
1. Temel Kavramlar: Önerme Nedir?
Bir cümlenin önerme olabilmesi için doğru ya da yanlış olmak üzere bir ve yalnız bir doğruluk değeri taşıması gerekir. Örneğin "Ankara, Türkiye'nin başkentidir." cümlesi bir önermedir ve doğruluk değeri Doğru (D)'dur. "Bugün hava güzel mi?" cümlesi ise soru cümlesi olduğu için önerme değildir; çünkü doğruluk değeri atanamaz.
Önermeler genellikle p, q, r, s gibi küçük harflerle sembolize edilir. Bu sembollerin her biri yalnızca D (Doğru) veya Y (Yanlış) değeri alabilir. İşte doğruluk çizelgesi, bu basit önermelerin mantık bağlaçlarıyla birleştirildiğinde hangi doğruluk değerlerini ürettiğini gösteren sistematik bir tablodur.
2. Mantık Bağlaçları (Operatörler)
Sembolik mantıkta önermeler arasında bağ kurmak için çeşitli mantık bağlaçları kullanılır. Bu bağlaçları ve sembollerini şu şekilde sıralayabiliriz:
Değilleme (Olumsuzlama) — ¬p veya ~p: Bir önermenin doğruluk değerini tersine çevirir. Eğer p doğruysa ¬p yanlış, p yanlışsa ¬p doğru olur. Günlük dilde "...değildir" anlamına gelir.
Konjunksiyon (Ve Bağlacı) — p ∧ q: İki önermenin ikisi birden doğru olduğunda sonuç doğru olur; diğer tüm durumlarda sonuç yanlış çıkar. Günlük dilde "hem ... hem ..." ya da "... ve ..." anlamına gelir.
Disjunksiyon (Veya Bağlacı) — p ∨ q: İki önermeden en az biri doğruysa sonuç doğrudur. Her ikisi de yanlışsa sonuç yanlış çıkar. Günlük dilde "... veya ..." anlamına gelir. Burada "veya" kapsayıcıdır; yani ikisi birden doğru olabilir.
Koşul (İse Bağlacı) — p → q: "p ise q" anlamına gelir. Yalnızca p doğru ve q yanlış olduğunda sonuç yanlış çıkar; diğer tüm durumlarda doğru olur. Bu bağlaç öğrencilerin en çok zorlandığı bağlaçtır. Önemli kural: "Doğrudan yanlış çıkmaz" yani doğru bir öncülden yanlış bir sonuç çıkması mümkün değildir.
Çift Koşul (Ancak ve Ancak) — p ↔ q: İki önermenin doğruluk değeri aynı olduğunda sonuç doğru, farklı olduğunda yanlış çıkar. Günlük dilde "... ancak ve ancak ... ise" biçiminde kullanılır.
3. Doğruluk Çizelgesi (Doğruluk Tablosu) Nedir?
Doğruluk çizelgesi, bileşik bir önermenin olası tüm doğruluk değeri kombinasyonları için aldığı sonuçları gösteren bir tablodur. Eğer bileşik önermede n tane basit önerme varsa, tabloda 2ⁿ satır bulunur. Örneğin iki önerme (p ve q) varsa 2² = 4 satır, üç önerme (p, q ve r) varsa 2³ = 8 satır oluşur.
12. Sınıf Mantık Doğruluk Çizelgesi ve Tutarlılık konusunda doğruluk çizelgesi oluşturma becerisi kazanmak, konunun temelini oluşturur.
4. Temel Bağlaçların Doğruluk Çizelgeleri
Şimdi her bir bağlacın doğruluk çizelgesini ayrıntılı biçimde inceleyelim.
4.1 Değilleme (¬p)
Değilleme tek bir önerme üzerinde işlem yapar:
p = D ise ¬p = Y
p = Y ise ¬p = D
Görüldüğü gibi değilleme sadece doğruluk değerini tersine çevirir. Çift değilleme, yani ¬(¬p), önermeyi tekrar kendisine döndürür: ¬(¬p) ≡ p.
4.2 Konjunksiyon (p ∧ q)
Konjunksiyon tablosu dört satırdan oluşur:
p = D, q = D → p ∧ q = D
p = D, q = Y → p ∧ q = Y
p = Y, q = D → p ∧ q = Y
p = Y, q = Y → p ∧ q = Y
Konjunksiyonda sonucun doğru olması için her iki önermenin de doğru olması şarttır. Tek bir yanlış bile sonucu yanlış yapar.
4.3 Disjunksiyon (p ∨ q)
p = D, q = D → p ∨ q = D
p = D, q = Y → p ∨ q = D
p = Y, q = D → p ∨ q = D
p = Y, q = Y → p ∨ q = Y
Disjunksiyonda sonucun yanlış olması için her iki önermenin de yanlış olması gerekir. En az bir doğru varsa sonuç doğru olur.
4.4 Koşul Bağlacı (p → q)
p = D, q = D → p → q = D
p = D, q = Y → p → q = Y
p = Y, q = D → p → q = D
p = Y, q = Y → p → q = D
Koşul bağlacının en önemli kuralı şudur: Yalnızca öncül doğru, sonuç yanlış olduğunda koşullu önerme yanlıştır. Bunu hatırlamak için "D'den Y çıkmaz" kuralını kullanabilirsiniz. Öncül yanlışsa sonuç ne olursa olsun bileşik önerme doğru kabul edilir.
4.5 Çift Koşul (p ↔ q)
p = D, q = D → p ↔ q = D
p = D, q = Y → p ↔ q = Y
p = Y, q = D → p ↔ q = Y
p = Y, q = Y → p ↔ q = D
Çift koşulda her iki önermenin doğruluk değeri aynıysa sonuç doğru, farklıysa yanlış olur. Bunu "ya ikisi de doğru ya ikisi de yanlış" biçiminde hatırlayabilirsiniz.
5. Doğruluk Çizelgesi Nasıl Oluşturulur?
Bir bileşik önermenin doğruluk çizelgesini oluşturmak için şu adımları izleriz:
Adım 1: Bileşik önermede kaç farklı basit önerme olduğunu belirleyin. Örneğin p, q ve r varsa n = 3'tür.
Adım 2: Satır sayısını hesaplayın: 2ⁿ. Üç önerme için 2³ = 8 satır gerekir.
Adım 3: Tablonun ilk sütunlarına basit önermelerin olası tüm D/Y kombinasyonlarını yazın. Bunu sistematik yapmak için ilk sütunda üst yarıyı D, alt yarıyı Y; ikinci sütunda çeyrek çeyrek değiştirme yöntemini kullanabilirsiniz.
Adım 4: Bileşik önermeyi adım adım çözün. Önce parantez içindeki işlemleri, sonra değillemeleri, ardından konjunksiyon ve disjunksiyonları, en son koşul ve çift koşulu hesaplayın.
Adım 5: Her satır için sonucu yazarak tabloyu tamamlayın.
6. Örnek Doğruluk Çizelgesi Uygulaması
Örnek: (p → q) ∧ (¬q → ¬p) ifadesinin doğruluk çizelgesini oluşturalım.
Bu ifadede iki basit önerme (p ve q) vardır, dolayısıyla 4 satırlık bir tablo oluşturacağız.
1. satır: p = D, q = D olduğunda; p → q = D, ¬q = Y, ¬p = Y, ¬q → ¬p = D. Sonuç: D ∧ D = D.
2. satır: p = D, q = Y olduğunda; p → q = Y, ¬q = D, ¬p = Y, ¬q → ¬p = Y. Sonuç: Y ∧ Y = Y.
3. satır: p = Y, q = D olduğunda; p → q = D, ¬q = Y, ¬p = D, ¬q → ¬p = D. Sonuç: D ∧ D = D.
4. satır: p = Y, q = Y olduğunda; p → q = D, ¬q = D, ¬p = D, ¬q → ¬p = D. Sonuç: D ∧ D = D.
Sonuç sütununda D, Y, D, D elde ettik. Bu ifade bir totoloji değildir çünkü en az bir Y değeri almıştır. Ancak en az bir D değeri aldığı için tutarlıdır.
7. Totoloji, Çelişki ve Olumsal (Olumsallık) Kavramları
Doğruluk çizelgesi sonucuna göre bir bileşik önerme üç kategoriden birine girer:
Totoloji: Doğruluk çizelgesinde tüm satırlarda D sonucu veren bileşik önermedir. Yani basit önermelerin doğruluk değerleri ne olursa olsun, bileşik önerme her zaman doğrudur. Örneğin p ∨ ¬p bir totolojidir. p doğruysa p ∨ ¬p doğru, p yanlışsa ¬p doğru olduğundan yine doğru çıkar.
Çelişki: Doğruluk çizelgesinde tüm satırlarda Y sonucu veren bileşik önermedir. Basit önermelerin doğruluk değerleri ne olursa olsun, bileşik önerme her zaman yanlıştır. Örneğin p ∧ ¬p bir çelişkidir. p doğruysa ¬p yanlış olduğundan D ∧ Y = Y; p yanlışsa ¬p doğru olduğundan Y ∧ D = Y çıkar.
Olumsal (Değişken): Doğruluk çizelgesinde hem D hem Y sonuçları bulunan bileşik önermedir. Çoğu bileşik önerme bu kategoriye girer. Olumsal ifadeler belirli koşullarda doğru, belirli koşullarda yanlış olur.
8. Tutarlılık Kavramı
Tutarlılık, 12. Sınıf Mantık Doğruluk Çizelgesi ve Tutarlılık konusunun ikinci büyük temasıdır. Bir önermeler kümesinin tutarlı olması, bu önermelerin hepsini aynı anda doğru yapan en az bir doğruluk değeri atamasının var olması demektir.
Daha basit bir ifadeyle: Elimizde birden fazla önerme varsa ve bu önermelerin hepsinin birlikte doğru olduğu bir durum (satır) bulabiliyorsak, bu önermeler kümesi tutarlıdır. Eğer önermelerin hepsini aynı anda doğru kılan hiçbir kombinasyon yoksa, küme tutarsızdır.
8.1 Tutarlılığı Doğruluk Çizelgesiyle Test Etme
Tutarlılığı test etmek için şu yöntem izlenir:
Adım 1: Verilen tüm önermelerin konjunksiyonunu (ve bağlacıyla birleşimini) oluşturun. Örneğin p → q, ¬q ve p önermeleri verilmişse (p → q) ∧ (¬q) ∧ p ifadesini oluşturun.
Adım 2: Bu konjunksiyonun doğruluk çizelgesini çıkarın.
Adım 3: Sonuç sütununda en az bir D varsa önermeler kümesi tutarlıdır. Tüm satırlar Y ise küme tutarsızdır.
8.2 Tutarlılık Örneği
Örnek: {p → q, ¬q, p} önermeler kümesinin tutarlılığını inceleyelim.
Bileşik ifademiz: (p → q) ∧ (¬q) ∧ p
1. satır: p = D, q = D: p → q = D, ¬q = Y, p = D. Sonuç: D ∧ Y ∧ D = Y.
2. satır: p = D, q = Y: p → q = Y, ¬q = D, p = D. Sonuç: Y ∧ D ∧ D = Y.
3. satır: p = Y, q = D: p → q = D, ¬q = Y, p = Y. Sonuç: D ∧ Y ∧ Y = Y.
4. satır: p = Y, q = Y: p → q = D, ¬q = D, p = Y. Sonuç: D ∧ D ∧ Y = Y.
Tüm satırlarda sonuç Y çıktığı için bu önermeler kümesi tutarsızdır. Yani bu üç önermenin hepsinin aynı anda doğru olduğu bir durum yoktur. Düşününce de mantıklıdır: p doğruysa ve p → q ise q doğru olmalıdır; ama ¬q diyoruz, bu çelişir.
8.3 Tutarlılık İçin İkinci Örnek
Örnek: {p ∨ q, ¬p} önermeler kümesini inceleyelim.
Bileşik ifade: (p ∨ q) ∧ (¬p)
1. satır: p = D, q = D: p ∨ q = D, ¬p = Y. Sonuç: D ∧ Y = Y.
2. satır: p = D, q = Y: p ∨ q = D, ¬p = Y. Sonuç: D ∧ Y = Y.
3. satır: p = Y, q = D: p ∨ q = D, ¬p = D. Sonuç: D ∧ D = D.
4. satır: p = Y, q = Y: p ∨ q = Y, ¬p = D. Sonuç: Y ∧ D = Y.
3. satırda sonuç D olduğundan bu önermeler kümesi tutarlıdır. p yanlış ve q doğru olduğunda her iki önerme de doğru olmaktadır.
9. Mantıksal Denklik
İki bileşik önerme, doğruluk çizelgelerinde birebir aynı sonuçları veriyorsa mantıksal olarak denk (eşdeğer) kabul edilir ve aralarına ≡ sembolü konur. Önemli denkliklerden bazıları şunlardır:
De Morgan Kuralları: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q ve ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q. Bu kurallar, değillemenin ve/veya bağlaçları arasında nasıl dağıldığını gösterir.
Karşıt Konumu (Kontrapozitif): p → q ≡ ¬q → ¬p. Bir koşullu önerme, karşıt konumuyla mantıksal olarak denktir.
Koşulun Disjunksiyonla İfadesi: p → q ≡ ¬p ∨ q. Koşul bağlacı, disjunksiyon kullanılarak da ifade edilebilir.
Çift Değilleme: ¬(¬p) ≡ p. Bir önermenin iki kez değillenmesi kendisini verir.
Bu denklikler doğruluk çizelgesiyle kolayca doğrulanabilir. Her iki ifadenin çizelgesini çıkarıp sonuç sütunları aynıysa denklik kanıtlanmış olur.
10. Geçerli Argüman ve Tutarlılık İlişkisi
Mantıkta bir argüman, bir veya birden fazla öncül önermeden bir sonuç önermesi çıkarma sürecidir. Bir argümanın geçerli olması, öncüllerin hepsinin doğru olduğu her durumda sonucun da doğru olması demektir.
Geçerlilik ile tutarlılık arasında şöyle bir ilişki vardır: Eğer bir argüman geçerliyse, öncüllerin doğru olduğu ama sonucun yanlış olduğu bir satır bulunamaz. Yani {öncüller, sonucun değili} kümesi tutarsız olmalıdır. Bu yöntem, argüman geçerliliğini test etmenin alternatif bir yoludur.
Örnek: "p → q, p ⊢ q" argümanının geçerliliğini tutarlılık yöntemiyle test edelim. {p → q, p, ¬q} kümesinin tutarlılığına bakarız. Yukarıda benzer bir kümeyi ({p → q, ¬q, p}) incelemiştik ve tutarsız bulmuştuk. Dolayısıyla argüman geçerlidir.
11. Üç Önermeli Doğruluk Çizelgesi Örneği
Üç önermeli bir örnek üzerinden konuyu pekiştirelim.
Örnek: (p ∧ q) → r ifadesinin doğruluk çizelgesini oluşturalım.
Üç önerme olduğu için 2³ = 8 satır olacaktır.
1. satır: p=D, q=D, r=D → p∧q=D → D→D=D
2. satır: p=D, q=D, r=Y → p∧q=D → D→Y=Y
3. satır: p=D, q=Y, r=D → p∧q=Y → Y→D=D
4. satır: p=D, q=Y, r=Y → p∧q=Y → Y→Y=D
5. satır: p=Y, q=D, r=D → p∧q=Y → Y→D=D
6. satır: p=Y, q=D, r=Y → p∧q=Y → Y→Y=D
7. satır: p=Y, q=Y, r=D → p∧q=Y → Y→D=D
8. satır: p=Y, q=Y, r=Y → p∧q=Y → Y→Y=D
Sonuç sütununda hem D hem Y değerleri olduğundan bu ifade bir olumsal önermedir; totoloji veya çelişki değildir.
12. Sık Yapılan Hatalar ve İpuçları
12. Sınıf Mantık Doğruluk Çizelgesi ve Tutarlılık konusunda öğrencilerin sıkça yaptığı hatalar ve bunlardan kaçınma yolları şunlardır:
Hata 1 — Koşul bağlacını yanlış yorumlama: p → q ifadesinde p = Y, q = D olduğunda sonucun D olduğunu unutanlar çok olur. "Yanlıştan her şey çıkar" kuralını aklınızda tutun.
Hata 2 — Satır sayısını eksik alma: Üç değişkenli bir ifade için 4 değil 8 satır gerektiğini unutmayın. Formül 2ⁿ'dir.
Hata 3 — İşlem önceliğini karıştırma: Öncelik sırası genellikle şöyledir: ¬ (en yüksek), ∧, ∨, →, ↔ (en düşük). Parantezler her zaman önce gelir.
Hata 4 — Tutarlılık ile totoloji karıştırma: Tutarlılık, en az bir satırda D olmasıdır. Totoloji ise tüm satırlarda D olmasıdır. Bu iki kavram farklıdır.
İpucu 1: Doğruluk çizelgesinde sistematik olarak D/Y kombinasyonlarını yazarken ikili sayı sistemi mantığını kullanın. İlk sütunda 4D-4Y, ikinci sütunda 2D-2Y-2D-2Y, üçüncü sütunda D-Y-D-Y şeklinde devam edin.
İpucu 2: Tutarlılık sorusunda tüm tabloyu çıkarmak zorunda değilsiniz. En az bir D bulduğunuz anda tutarlı olduğunu söyleyebilirsiniz. Ancak tutarsızlık ispatı için tüm satırları kontrol etmeniz gerekir.
İpucu 3: Koşul bağlacı içeren ifadelerde "D Y çıkmaz" kuralını tek satır hatası bulmak için kullanabilirsiniz; bu sayede bazı soruları çizelge çıkarmadan çözebilirsiniz.
13. Mantıksal Eşdeğerlikleri Doğruluk Çizelgesiyle Kanıtlama
Doğruluk çizelgesi kullanarak iki ifadenin mantıksal olarak eşdeğer olduğunu kanıtlayabiliriz. Bunun için her iki ifadenin çizelgesini ayrı ayrı çıkarır ve sonuç sütunlarını karşılaştırırız.
Örnek: p → q ≡ ¬p ∨ q olduğunu gösterelim.
p = D, q = D: p → q = D; ¬p ∨ q = Y ∨ D = D. Aynı.
p = D, q = Y: p → q = Y; ¬p ∨ q = Y ∨ Y = Y. Aynı.
p = Y, q = D: p → q = D; ¬p ∨ q = D ∨ D = D. Aynı.
p = Y, q = Y: p → q = D; ¬p ∨ q = D ∨ Y = D. Aynı.
Tüm satırlarda sonuçlar aynı olduğundan p → q ≡ ¬p ∨ q kanıtlanmış olur.
14. Konunun Günlük Hayatla İlişkisi
Doğruluk çizelgesi ve tutarlılık kavramları yalnızca matematik dersinde değil, günlük hayatta da karşımıza çıkar. Örneğin bir arkadaşınız "Hem sinema hem tiyatroya gideceğim" deyip ardından "Tiyatroya gitmeyeceğim" derse, bu iki ifade birlikte tutarsızdır. Bilgisayar programlama, yapay zekâ, hukuk ve felsefe gibi pek çok alanda mantıksal tutarlılık kritik öneme sahiptir.
Programlama dillerinde if-else yapıları koşul bağlacına, AND/OR operatörleri konjunksiyon ve disjunksiyona karşılık gelir. Dolayısıyla bu konuyu öğrenmek, bilişim dünyasını anlamanın da temelini oluşturur.
15. Özet
12. Sınıf Mantık Doğruluk Çizelgesi ve Tutarlılık konusunu özetleyecek olursak: Doğruluk çizelgesi, bileşik önermelerin olası tüm doğruluk değeri kombinasyonları altında aldığı sonuçları gösteren sistematik bir araçtır. Totoloji her zaman doğru, çelişki her zaman yanlış, olumsal ise bazen doğru bazen yanlış olan ifadedir. Tutarlılık ise bir önermeler kümesinin hepsinin aynı anda doğru olabildiği en az bir durumun varlığıdır. Bu kavramlar, mantıksal akıl yürütmenin ve argüman değerlendirmenin temel taşlarıdır.
Örnek Sorular
12. Sınıf Mantık Doğruluk Çizelgesi ve Tutarlılık — 10 Çözümlü Soru
Aşağıda 12. Sınıf Mantık Doğruluk Çizelgesi ve Tutarlılık konusuna ait çoktan seçmeli ve açık uçlu çözümlü sorular yer almaktadır. Her sorunun ardından ayrıntılı çözümü verilmiştir.
Soru 1 (Çoktan Seçmeli)
p = D ve q = Y iken p → q ifadesinin doğruluk değeri nedir?
A) Doğru B) Yanlış C) Belirsiz D) Hem doğru hem yanlış E) Tanımsız
Çözüm: Koşul bağlacı p → q ifadesinde yalnızca öncül doğru ve sonuç yanlış olduğunda sonuç yanlıştır. p = D ve q = Y olduğunda "D'den Y çıkmaz" kuralı gereği p → q = Y'dir.
Cevap: B
Soru 2 (Çoktan Seçmeli)
Aşağıdakilerden hangisi bir totolojidir?
A) p ∧ ¬p B) p ∨ q C) p → p D) p ∧ q E) p → q
Çözüm: p → p ifadesini inceleyelim. p = D iken D → D = D; p = Y iken Y → Y = D. Her iki durumda da sonuç D olduğundan p → p bir totolojidir. A seçeneği çelişkidir, B, D ve E seçenekleri olumsal ifadelerdir.
Cevap: C
Soru 3 (Çoktan Seçmeli)
p ∧ ¬p ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) Totoloji B) Olumsal C) Çelişki D) Tutarlı E) Geçerli
Çözüm: p = D ise ¬p = Y, D ∧ Y = Y. p = Y ise ¬p = D, Y ∧ D = Y. Her iki durumda da sonuç Y olduğundan bu bir çelişkidir.
Cevap: C
Soru 4 (Çoktan Seçmeli)
{p, ¬p} önermeler kümesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Tutarlıdır B) Tutarsızdır C) Totolojidir D) Olumsaldır E) Geçerlidir
Çözüm: Bu kümenin tutarlılığı için p ∧ ¬p konjunksiyonuna bakarız. Soru 3'te gösterildiği gibi p ∧ ¬p her durumda yanlıştır. Dolayısıyla her iki önermeyi aynı anda doğru kılan bir durum yoktur ve küme tutarsızdır.
Cevap: B
Soru 5 (Açık Uçlu)
(p ∨ q) ∧ ¬p ifadesinin doğruluk çizelgesini çıkarınız ve bu ifadenin totoloji, çelişki veya olumsal olduğunu belirleyiniz.
Çözüm:
p = D, q = D: p ∨ q = D, ¬p = Y → D ∧ Y = Y
p = D, q = Y: p ∨ q = D, ¬p = Y → D ∧ Y = Y
p = Y, q = D: p ∨ q = D, ¬p = D → D ∧ D = D
p = Y, q = Y: p ∨ q = Y, ¬p = D → Y ∧ D = Y
Sonuç sütunu: Y, Y, D, Y. Hem D hem Y değerleri bulunduğundan ifade olumsaldır.
Soru 6 (Çoktan Seçmeli)
p ↔ q ifadesinde p = Y, q = Y iken doğruluk değeri nedir?
A) Doğru B) Yanlış C) Belirsiz D) Tanımsız E) Hem doğru hem yanlış
Çözüm: Çift koşul bağlacında her iki önerme aynı doğruluk değerine sahipse sonuç doğrudur. p = Y, q = Y → aynı değer → p ↔ q = D.
Cevap: A
Soru 7 (Açık Uçlu)
{p → q, q → r, p, ¬r} önermeler kümesinin tutarlılığını inceleyiniz.
Çözüm: (p → q) ∧ (q → r) ∧ p ∧ ¬r ifadesinin doğruluk çizelgesini inceleyelim (üç değişken, 8 satır).
Dikkatli inceleme için kritik satırlara bakalım: p = D olmalı (çünkü p öncülü var). p = D ise p → q = D olması için q = D olmalı. q = D ise q → r = D olması için r = D olmalı. Ama ¬r öncülü r = Y gerektirir. Bu çelişir. Dolayısıyla tüm öncülleri aynı anda doğru kılan bir atama yoktur.
Küme tutarsızdır.
Soru 8 (Çoktan Seçmeli)
¬(p ∧ q) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşdeğerdir?
A) ¬p ∧ ¬q B) ¬p ∨ ¬q C) p ∨ q D) ¬p → ¬q E) p ∧ ¬q
Çözüm: De Morgan kuralına göre ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q. Doğruluk çizelgesiyle doğrulayalım:
p=D, q=D: ¬(D∧D)=¬D=Y; ¬D∨¬D=Y∨Y=Y. Aynı.
p=D, q=Y: ¬(D∧Y)=¬Y=D; ¬D∨¬Y=Y∨D=D. Aynı.
p=Y, q=D: ¬(Y∧D)=¬Y=D; ¬Y∨¬D=D∨Y=D. Aynı.
p=Y, q=Y: ¬(Y∧Y)=¬Y=D; ¬Y∨¬Y=D∨D=D. Aynı.
Cevap: B
Soru 9 (Açık Uçlu)
{p ∨ q, ¬p, ¬q} önermeler kümesinin tutarlılığını doğruluk çizelgesi yardımıyla belirleyiniz.
Çözüm: (p ∨ q) ∧ ¬p ∧ ¬q ifadesini inceleyelim.
p=D, q=D: D ∧ Y ∧ Y = Y
p=D, q=Y: D ∧ Y ∧ D = Y
p=Y, q=D: D ∧ D ∧ Y = Y
p=Y, q=Y: Y ∧ D ∧ D = Y
Tüm satırlar Y olduğundan küme tutarsızdır. Bu beklenen bir sonuçtur: p ∨ q en az birinin doğru olmasını gerektirirken, ¬p ve ¬q her ikisinin de yanlış olmasını gerektirir; bu iki durum aynı anda sağlanamaz.
Soru 10 (Çoktan Seçmeli)
Üç basit önerme (p, q, r) içeren bir bileşik önermenin doğruluk çizelgesinde kaç satır bulunur?
A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16
Çözüm: n basit önerme için satır sayısı 2ⁿ formülüyle bulunur. n = 3 için 2³ = 8 satır oluşur.
Cevap: D
Çalışma Kağıdı
12. Sınıf Mantık — Doğruluk Çizelgesi ve Tutarlılık Çalışma Kâğıdı
Ders: Mantık Ünite: Sembolik Mantık Konu: Doğruluk Çizelgesi ve Tutarlılık
Ad Soyad: ______________________________ Sınıf / No: ____________ Tarih: ___/___/______
Etkinlik 1: Temel Kavramları Tamamla
Aşağıdaki boşlukları uygun kavramlarla doldurunuz.
1. Bir önermenin doğruluk değerini tersine çeviren bağlaca _________________________ denir.
2. p ∧ q ifadesinin doğru olması için her iki önermenin de _________________________ olması gerekir.
3. Doğruluk çizelgesinde tüm satırlarda sonuç "Doğru" olan bileşik önermeye _________________________ denir.
4. Doğruluk çizelgesinde tüm satırlarda sonuç "Yanlış" olan bileşik önermeye _________________________ denir.
5. Bir önermeler kümesinin tüm önermelerini aynı anda doğru kılan en az bir durum varsa bu küme _________________________ olarak adlandırılır.
6. n tane basit önerme varsa doğruluk çizelgesinde _______ satır bulunur.
7. p → q ifadesinin yanlış olduğu tek durum p = _______ ve q = _______ olduğu durumdur.
8. De Morgan kuralına göre ¬(p ∧ q) ≡ _________________________.
Etkinlik 2: Doğruluk Çizelgesi Doldurma
Aşağıdaki tabloları tamamlayınız.
Tablo A: p → q
| p | q | p → q |
| D | D | |
| D | Y | |
| Y | D | |
| Y | Y |
Tablo B: p ↔ q
| p | q | p ↔ q |
| D | D | |
| D | Y | |
| Y | D | |
| Y | Y |
Tablo C: (p ∨ q) ∧ ¬p
| p | q | p ∨ q | ¬p | (p ∨ q) ∧ ¬p |
| D | D | |||
| D | Y | |||
| Y | D | |||
| Y | Y |
Tablo C'deki ifade totoloji mi, çelişki mi yoksa olumsal mıdır? ___________________________
Etkinlik 3: Eşleştirme
Sol sütundaki ifadelerle sağ sütundaki kavramları eşleştiriniz. Uygun harfi boşluğa yazınız.
1. p ∨ ¬p ( ___ ) a) Çelişki
2. p ∧ ¬p ( ___ ) b) Totoloji
3. p → q ( ___ ) c) Olumsal
4. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q ( ___ ) d) De Morgan Kuralı
5. p → q ≡ ¬q → ¬p ( ___ ) e) Kontrapozitif
Etkinlik 4: Tutarlılık Analizi
Aşağıdaki önermeler kümelerinin tutarlı mı yoksa tutarsız mı olduğunu belirleyiniz. Cevabınızı gerekçelendiriniz.
Küme 1: {p, q, p → q}
Tutarlı mı? _____________ Gerekçe: _____________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
Küme 2: {p, ¬p ∧ q}
Tutarlı mı? _____________ Gerekçe: _____________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
Küme 3: {p → q, q → r, p, ¬r}
Tutarlı mı? _____________ Gerekçe: _____________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
Küme 4: {p ∨ q, ¬p, q}
Tutarlı mı? _____________ Gerekçe: _____________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
Etkinlik 5: Doğruluk Çizelgesi Oluşturma Uygulaması
Aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk çizelgesini boş alana oluşturunuz ve sonucu (totoloji / çelişki / olumsal) yazınız.
a) (p → q) ∧ (¬p → q)
Doğruluk çizelgenizi buraya çiziniz:
Sonuç: ___________________________
b) (p ↔ q) → (p → q)
Doğruluk çizelgenizi buraya çiziniz:
Sonuç: ___________________________
c) (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)
Doğruluk çizelgenizi buraya çiziniz:
Sonuç: ___________________________
Etkinlik 6: Günlük Dil ve Sembolik Mantık
Aşağıdaki günlük dil ifadelerini sembolik mantık ile yazınız ve doğruluk çizelgesini oluşturunuz.
p: Hava yağmurludur. q: Şemsiye alırım.
a) "Hava yağmurluysa şemsiye alırım." → Sembolik ifade: ___________________________
b) "Hava yağmurlu değil veya şemsiye alırım." → Sembolik ifade: ___________________________
c) (a) ve (b)'nin doğruluk çizelgesini karşılaştırarak mantıksal denklik durumunu belirleyiniz.
Sonuç: Bu iki ifade mantıksal olarak denk midir? ___________________________
Etkinlik 7: Doğru-Yanlış Soruları
Aşağıdaki ifadelerin doğru (D) veya yanlış (Y) olduğunu belirtiniz.
1. ( ___ ) Her totoloji aynı zamanda tutarlıdır.
2. ( ___ ) Her çelişki tutarsızdır.
3. ( ___ ) p → q ile q → p mantıksal olarak denktir.
4. ( ___ ) p → q ile ¬q → ¬p mantıksal olarak denktir.
5. ( ___ ) Olumsal bir önerme bazı durumlarda doğru, bazı durumlarda yanlıştır.
6. ( ___ ) Üç değişkenli bir doğruluk çizelgesinde 6 satır vardır.
7. ( ___ ) {p, q} kümesi her zaman tutarlıdır.
8. ( ___ ) Bir çelişkinin değili totolojidir.
12. Sınıf Mantık Doğruluk Çizelgesi ve Tutarlılık Çalışma Kâğıdı — Yazdırılabilir A4
Sıkça Sorulan Sorular
12. Sınıf Mantık müfredatı 2025-2026 yılında kaç ünite?
2025-2026 müfredatına göre 12. sınıf mantık dersi birden fazla üniteden oluşmaktadır. Sayfadaki ünite listesinden güncel bilgiye ulaşabilirsiniz.
12. sınıf doğruluk Çizelgesi ve tutarlılık konuları hangi dönemlerde işleniyor?
12. sınıf mantık dersi konuları 1. dönem ve 2. dönem olarak iki yarıyılda işlenmektedir. Her ünitenin tahmini süre bilgisi Millî Eğitim Bakanlığı'nın haftalık ders planlarında yer almaktadır.
12. sınıf mantık müfredatı ne zaman güncellendi?
Gösterilen içerik 2025-2026 eğitim-öğretim yılı için güncellenmiştir. Millî Eğitim Bakanlığı'nın resmi sitesinde yayımlanan müfredat dokümanları esas alınmıştır.